matemática financeira / Juros compostos

por **Roberta** » Sex Jul 11, 2008 21:00

Olá a todos!! :-)

Queria ajuda do pessoal para resolver esta questão :shock:

Augusto emprestou R$ 30.000,00 a César, à taxa de juros de 10% ao mês. Eles combinaram que o saldo devedor seria
calculado a juros compostos no número inteiro de meses e, a seguir, corrigido a juros simples, com a mesma taxa de
juros, na parte fracionária do período, sempre considerando o mês com 30 dias. Para quitar a dívida 2 meses e 5 dias após o empréstimo, César deve pagar a Augusto, em reais,
(A) 39.930,00
(B) 39.600,00
(C) 37.026,00
(D) 36.905,00
(E) 36.300,00

Como estabelecer os valores ? Não sei por onde começar...

Obrigada !!!

por **admin** » Sex Jul 11, 2008 22:16

Olá Roberta!

Comece calculando o montante

após 2 meses, partindo do capital

, com a taxa de juros compostos

de 10%:

$M = C \left( 1 + \frac{i}{100}\right)^n$

Depois, encontre a taxa i_2

proporcional aos 5 dias. Faça uma regra de três:

$\left\{ \begin{matrix} \text{30 dias} & & 10\% \\ \text{5 dias} & & i_2 \\ \end{matrix} \right.$

Corrija o montante

com esta taxa de juros simples.

Dica: utilize C = 30

, no final, multiplique o montante por 1000

.

Bons estudos!

por **Roberta** » Sex Jul 11, 2008 22:53

Vlw Fábio!
Obrigada!! :-)

por **admin** » Sáb Jul 12, 2008 00:11

Também acho interessante comentar sobre esta conhecida "fórmula" para juros compostos...
Uma vez entendida a idéia, em caso de esquecimento, podemos obtê-la novamente. Veja...

Sendo:

: a taxa de juros em cada período

: o capital inicial

: o número de períodos considerados (meses, anos etc)
M_n

: o montante após

períodos

No início, para n=0

, temos:

Após 1 período:

Quando

, aplicamos pela primeira vez a taxa de juros:

$M_1 = M_0 + M_0 \cdot \frac{i}{100}$

Substituindo M_0

:

$M_1 = C + C \cdot \frac{i}{100}$

Colocando

em evidência:

$M_1 = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right)$

Após 2 períodos:

Da mesma forma, temos o montante anterior acrescido do percentual relacionado à taxa de juros:

$M_2 = M_1 + M_1 \cdot \frac{i}{100}$

Colocando M_1

em evidência:

$M_2 = M_1 \left( 1 + \frac{i}{100} \right)$

Substituindo M_1

:

$M_2 = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right) \cdot \left( 1 + \frac{i}{100} \right)$

$M_2 = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right)^2$

Após 3 períodos:

O mesmo processo, aplicando a taxa de juros sobre o montante atual:

$M_3 = M_2 + M_2 \cdot \frac{i}{100}$

Colocando M_2

em evidência:

$M_3 = M_2 \cdot \left( 1 + \frac{i}{100} \right)$

Substituindo M_2

:

$M_3 = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right)^2 \cdot \left( 1 + \frac{i}{100} \right)$

$M_3 = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right)^3$

Após 4 períodos:

Fazendo da mesma forma, obtemos:

$M_4 = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right)^4$

$\vdots$

Após n períodos:

Percebemos uma forma geral para o montante:

$M_n = C \left( 1 + \frac{i}{100} \right)^n$

Esta expressão pode ser provada por indução matemática, mas este seria outro assunto.

Até mais!