Probabilidade (Desafio)

por **Jonatan** » Qua Jul 07, 2010 21:57

Em uma cidade com n + 1 habitantes, n $n \in N$ , uma pessoa passa uma nota de R$10,00 a uma segunda pessoa como troco de uma compra, esta segunda pessoa por sua vez passa esta mesma nota a uma terceira pessoa e assim sucessivamente. Determine a probabilidade de esta nota ser passada m vezes, m $m \in N$ , $m \leq n$ , sem retornar a primeira pessoa.

Gabarito: ${\left(\frac{n-1}{n} \right)}^{m-1}$

Pessoal, não faço nem ideia de como faz essa questão. Alguém pode resolver e explicar para mim? Obrigado desde já.

por **Douglasm** » Qua Jul 07, 2010 23:54

Bom, é simples, veja só:

O primeiro a passar a nota, passa esta para um dos n habitantes restantes, que por sua vez, passa a nota para um dos (n-1) habitantes restantes. Como a única condição é que a nota não volte a PRIMEIRA pessoa, o terceiro indivíduo pode passar a nota para (n-1) habitantes (ele não pode passar para o primeiro, nem para si mesmo), assim como todos os outros depois dele. Como são feitas m passagens, o número de casos favoráveis que nós temos é:

$n.(n-1)^{m-1}$

Se excluírmos a condição inicial, cada um dos habitantes poderá passar a nota para os outros n habitantes restantes. Sendo assim, o número de casos totais é:

n^m

Como a probabilidade é definida como o número de casos favoráveis sobre o número de casos possíveis, ela é:

$\frac{n.(n-1)^{m-1}}{n^m} = \left(\frac{n-1}{n} \right)^{m-1}$

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