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[logaritmo] Ajude-me, por favor.

[logaritmo] Ajude-me, por favor.

Mensagempor Cleyson007 » Sáb Mai 17, 2008 23:20

Olá, querido professor, tudo bem?

Estou estudando e me deparei com essa questão, gostaria de saber se o procedimento que adotei para resolvê-la se está correto.

A altura média do tronco de certa espécie
de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui,
desde que é plantada, segundo o modelo matemático
h(t)= 1,5 + log3 (t +1), com h(t) em metros e t em
anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu
tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido
do momento da plantação até o do corte foi de:

a) 9 b) 8 c) 5 d) 4 e) 2

Observação: h(t)= 1,5 + log de (t+1) na base 3.

Eu a resolvi assim: 3,5= 1,5 + log3 (t+1) Peguei o 1,5 que está depois da igualdade e passei para antes da igualdade com o sinal inverso. 3,5 - 1,5= log3 (t+1)
2,0= log 3 (t+1) Peguei a base (o número 3) e elevei ao 2 que está antes da igualdade, ficando 9= t+1, obtendo o valor de 8 para t.

Peço desculpa por ter que explicar tudo escrito, é porque não consegui fazer no site, peço sua compreensão. Qualquer dúvida, é só postar que explico o que fiz.
Um abraço.
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Re: Ajude-me, por favor.

Mensagempor admin » Dom Mai 18, 2008 00:17

Olá Cleyson, tudo bem, boa noite!

A resolução está correta sim!

Apenas um comentário: melhor escrever "com sinal oposto".

Em verdade, o 1,5 não passa para antes da igualdade, pois, de fato, subtraímos 1,5 dos dois membros da equação.
Apenas por curiosidade, veja o que ocorre:

h(t) = 1,5 + log_3(t+1)

3,5 = 1,5 + log_3(t+1)

3,5 \underbrace{- 1,5} = 1,5 + log_3(t+1) \underbrace{- 1,5}

3,5 - 1,5 = \underbrace{1,5 - 1,5}_\text{estas parcelas se anulam} + log_3(t+1)

3,5 - 1,5 = \underbrace{0}_\text{nao mais escrevemos} + log_3(t+1)

2 = log_3(t+1)


Analogamente ocorre quando dizem que um número passou para o outro lado dividindo, de fato, os dois membros da equação foram divididos por este número.

Ou ainda, o número passou multiplicando, de fato, os dois membros da equação foram multiplicados por este número.


Abraço e bom domingo!
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Re: [logaritmo] Ajude-me, por favor.

Mensagempor Neperiano » Qui Jun 19, 2008 14:36

Conlicensa eu aprendi esse tal de LOGARITMO no primeiro ano do ensino médio, dai a professora do segundo ano no qual estou agora disse que isso é matéria de Terceiro. Afinal é matéria de qual ano? E tipo é muito sem noção como vou colocar a abreviação LOG numa questão assim por exemplo.

Eu sou 5 vezes mais velho que o meu irmão e 10 vezes menos velho que o meu tio. Se o meu pai tem a mesma idade do meu tio e esse nasceu quando minha vó tinha 21 anos. Quantos anos eu tenho se minha vó tem 65 atualmente?
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Re: [logaritmo] Ajude-me, por favor.

Mensagempor admin » Qui Jun 19, 2008 16:29

Olá, boas-vindas!

De acordo com a proposta dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, este tema consta organizado no 1º ano.

Fonte do MEC, página 128:
Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf


Segue um trecho interessante do documento sobre logaritmo:

A explicitação de linguagens, usadas em comum por diferentes disciplinas científicas, permite ao aluno perceber sua universalidade e também distinguir especificidades desses usos. Um exemplo disso é o uso do logaritmo, operação que dá origem a funções matemáticas, mas que também é linguagem de representação em todas as ciências. Ao se ensinar este conceito, operação ou função, o professor de Matemática, inicialmente, mostra que dez milhões – 10.000.000 – é dez vezes dez, sete vezes seguidas, ou seja, dez à potência 7, ou seja, 10^7. Uma operação inversa é o logaritmo na base 10, ou seja, log_{10}(10.000.000)=7, que, conhecido o número dez milhões, determina qual a potência de 10 que resulta nele.

Esse aprendizado, no entanto, perderia contexto se não se explicitasse a importância dos logaritmos, em questões tecnológicas e em outras ciências, para expressar grandezas cujo intervalo de variação é exponencial. Por exemplo, o ouvido humano pode ouvir ruídos um trilhão de vezes menores do que o mais intenso a que resiste, no limite da dor. Para conseguir abranger esse imenso intervalo criou-se, a partir da potência sonora, a escala logarítmica de decibéis. Usando essa escala, pode-se situar sons com intensidades variando de 1 a 1 trilhão em um gráfico com só treze divisões, e não um trilhão delas.

Também é logarítmica a escala Richter dos abalos sísmicos. Um aluno que compreender o caráter logarítmico dessa escala saberá que um terremoto caracterizado pelo nível 7 não tem uma intensidade só acrescida em 3, relativamente a um abalo de nível 4, mas sim mil vezes esta intensidade, ou seja, multiplicada por 10^3. Usa-se ainda uma escala logarítmica para definir o pH de substâncias, coeficiente que caracteriza a condição mais ácida ou mais básica de soluções. Também populações de microorganismos podem variar exponencialmente, tornando a escala logarítmica igualmente conveniente em Biologia.

Estas sugestões, que por acaso envolveram funções logarítmicas, poderiam ter envolvido funções trigonométricas, exponenciais ou distribuições estatísticas.


Sobre o problema que você enviou, por que pensou em logarítmo para ele?
Uma equação do primeiro grau resolve, mas para visualizá-la, sugiro montar uma tabela para as pessoas, com as idades no passado e no presente, todas em função de uma única incógnita, por exemplo, "e" para "eu".

A diferença de idades destas colunas será igual para todos.
A partir daí, você pode escrever a equação e encontrar o valor de "e".
No fórum há alguns problemas de idades, tente utilizar a busca do site para localizar exemplos.
Conforme minhas contas, o "eu" do enunciado tem 4,4 anos (ou 4 anos, 4 meses e 24 dias, aproximadamente), você pode testar o valor no próprio enunciado.

Bons estudos!
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Re: [logaritmo] Ajude-me, por favor.

Mensagempor Neperiano » Qui Jun 19, 2008 16:34

Bom dia

Assim tem 4,4 sim, mas não é isso que importa o que queria saber é se qualquer problema pode ser resolvido por logaritmo, mas ja li la no estatuto que deve-se usar na função inversa do exponencial.

Obrigado
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?