exercicio resolvido

por **adauto martins** » Sex Abr 23, 2021 15:35

(ITA-1959)mostrar se é verdadeiro

${(1+x)}^{n}\geq 1+nx$

onde n é um inteiro positivo e x é qualquer numero maior ou igual a 1.

por **adauto martins** » Sex Abr 23, 2021 15:55

soluçao

essa desiqualdade é conhecida como "desiqualdade de bernoulli".usa-se em maior parte a induçao finita para demonstra-la,mas aqui usarei uma simples algebra para se ter o resultado.
p/ $-1\prec x\preceq 0\Rightarrow 1+x\succ 0$
de fato
$-1\prec x \preceq 1\Rightarrow 0\prec x+1 \preceq 1 \Rightarrow x+1\succ 0$

p/ $x\succeq 0\Rightarrow x+1\succ0$

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${(1+x)}^{n}=(1+x).(1+x)....(1+x)\geq (1+x)+(1+x)+...+(1+x) \succeq 1+x+x+...+x=1+nx...$

por **adauto martins** » Dom Abr 25, 2021 12:50

correçao

a demonstraçao acima vale para
$x\succeq0$
no intervalo
$-1\prec x\leq 0$
teriamos
${(x+1)}^{n}=(x+1).(x+1)....(x+1)\preceq (x+1)+(x+1)+...+(x+1)$
o qual invalidaria a forma da demonstraçao...
quando eu tiver uma forma demonstravel dessa desiqualdade(que esta correta,e demonstravel via induçao finita)
eu a postarei...obrigado

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