exerc.resolvido

por **adauto martins** » Qua Nov 06, 2019 15:38

(ENE-escola nacional de engenharia-exame 1950)
calcular as raizes racionais da equaçao

$3{x}^{4}-4{x}^{3}-19{x}^{2}+8x+12=0$

por **adauto martins** » Qua Nov 06, 2019 16:12

soluçao:
o problema pede as raizes racionais,ou seja as raizes da forma (p/q),onde p,q sao primos entre si.
em um polinomio a forma de encontrar as possiveis raizes racionas é dado por:
os divisores p,de ${a}_{0}=12$ , e os divisores q, de ${a}_{n}=3$ .aqui inclui os positivos e negativos
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div(12)=[-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12]
div(3)=[-3,-1,1,3]
as possiveis raizes racionais,(p/q)sao:
[-12,-6,-4,-3,-2,-1,-4/3,-2/3,-1/3,1/3,2/3,4/3,1,2,3,4,6,12]

sao 18 possibilidades de se achar uma,ou mais raizes racionais de p(x),que se faz via substituindo as possibilidades no polinomio,uma a uma(que tarefa,heim!...) e verificando a condiçao de p(x)=0.
aqui,p(1)=0,pois

$3{(1)}^{4}-4{(1)}^{3}-19{(1)}^{2}+8(1)+12=3-4-19+8+12=-23+23=0$

bom,achando uma raiz,podemos entao diminuir o grau do polinomio

$(3{x}^{4}-4{x}^{3}-19{x}^{2}+8x+12)/(x-1)= =(-{x}^{3}-19{x}^{2}+8x+12)$

temos agora um polinomio de terceiro grau,a saber

$-{x}^{3}-19{x}^{2}+8x+12$

logo,faremos novamente o processo de possibilidades das raizes racionais para

$r(x)=-{x}^{3}-19{x}^{2}+8x+12=0$

possiveis raizes [-1,-2,-3,-4,-6,-12,1,2,3,4,6,12]

e procurarmos entre esses,uma ou mais valores que satisfaz a condiçao de r(x)=0...
como o polinomio inicial é de quatro grau,podemos ter 4 raizes,3 raizes(uma com multiplicidade 2),2 raizes(uma com multiplicidade 3,ou duas com multiplicidade 2),1 raiz(com multiplicidade 4)...bom,aos interessados termine-o...

por **adauto martins** » Qua Nov 06, 2019 16:37

uma correçao:

$(3{x}^{4}-4{x}^{3}-19{x}^{2}+8x+12)/(x-1)=3{x}^{3}-{x}^{2}-x+4$

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$r(x)=3{x}^{3}-{x}^{2}-x+4$

obrigado....

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