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[Derivada]

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Mensagempor violettav » Qui Nov 02, 2017 16:21

Seja g uma funcao derivavel e f(x) = (cos x) * g²(tg (x / (x² + 2)). Sabendo que g(0) = 1/2 e g'(0) = 1, calcule f ' (0).

resposta : 1/2
violettav
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Re: [Derivada]

Mensagempor jbandrade1618 » Qui Jan 11, 2018 14:00

Olá Violetta.

Essa questão pede um pouco de paciência e organização para aplicar a regra da cadeia. Como o x da função será sempre substituído por zero, será fácil no final substituir os valores.

Resolução:
f'(x)=df(x)=dcos(x)*{g}^{2}\left( tg\left(\frac{x}{{x}^{2}+2} \right)\right)+cos(x)*2g\left( tg\left(\frac{x}{{x}^{2}+2} \right)\right)*dtg\left(\frac{x}{{x}^{2}+2} \right)*d\left(\frac{x}{{x}^{2}+2} \right)
\Rightarrow f'(x)=-sen(x)*{g}^{2}\left( tg\left(\frac{x}{{x}^{2}+2} \right)\right)+cos(x)*2g\left( tg\left(\frac{x}{{x}^{2}+2} \right)\right)*{sec}^{2}\left(\frac{x}{{x}^{2}+2} \right)*\left(\frac{-{x}^{2}+2}{{({x}^{2}+2})^{2}}\right)

Agora basta substituir x por zero:
f'(0)=-sen(0)*{g}^{2}\left( tg\left(\frac{0}{{0}^{2}+2} \right)\right)+cos(0)*2g\left( tg\left(\frac{0}{{0}^{2}+2} \right)\right)*{sec}^{2}\left(\frac{0}{{0}^{2}+2} \right)*\left(\frac{-{0}^{2}+2}{{({0}^{2}+2})^{2}}\right)
\Rightarrow f'(0)=0*{g}^{2}(0)+1*2g(0)*{sec}^{2}(0)*\left(\frac{2}{4}\right)=1*2*\frac{1}{2}*{1}^{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
\Rightarrow f'(0)=\frac{1}{2}

Espero ter ajudado. :y:
jbandrade1618
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}