[Cálculo 1] Exercício de taxas de variação

por **gust15** » Sex Dez 16, 2016 18:35

Uma escada de 10m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza afastando-se da parede a uma taxa de 0,5m/s, determine:

a) quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo quando a base da escada está a 6m da parede?

b) O tempo necessário para que o centro de gravidade da escada desça 3m?

Bom, estava tentando resolver esse exercício. Na letra a) eu cheguei na seguinte resposta: dy/dt = -0,375 m/s
Mas na letra b) eu não sei como proceder... Se alguém puder confirmar se a resposta que encontrei na letra a) está correta e ainda me dizer como posso resolver a letra b) eu agradeceria muito

por **adauto martins** » Sáb Dez 17, 2016 15:48

a)
${l}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}\Rightarrow d/dt({l}^{2})=d/dt({x}^{2})+d/dt({y}^{2})... 0=2x(dx/dt)+2y(dy/t)\Rightarrow dy/dt=-(x/y)dx/dt...$
${l}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}\Rightarrow y=\sqrt[]{({10}^{2}-{6}^{2}}=\sqrt[]{64}=8...$ ,logo:
dy/dt=-(6/8)*0.5=-0.375(cm/s)...

b)
o centro de massa se desloca,tanto na direçao de x,como de y...entao sua velocidade é:
${v}_{c}=\sqrt[]{{dx/dt}^{2}+{dy/dt}^{2}}=\sqrt[]{{0.5}^{2}+{(-0.375}^{2}}=0.625 cm/s...$
na direçao y,o centro de massa sofre a açao da gravidade,portanto:
$y={v}_{c}.t-(g/2){t}^{2}\Rightarrow 3=0.625t-4.9.{t}^{2}...$ $y={v}_{c}.t-(g/2){t}^{2}\Rightarrow 3=0.625t-4.9.{t}^{2}...$ ,agora é resolver essa eq.de segundo grau,p/ $t\succ 0$ ...