ex.resolvido-transf.linear

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ex.resolvido-transf.linear

Mensagempor adauto martins » Seg Ago 08, 2016 11:48

seja T:{\Re}^{3}\rightarrow {\Re}^{3},definida por:
T(x,y,z)=(2z,2x-y,-z),determine:
a)uma base para o nucleo,e uma base para a imagem de T
b)T é injetiva?Té sobrejetiva?
soluçao:
a)
N(T)={T(v)=0/v\in {\Re}^{3}},logo:
T(x,y,z)=(2z,2x-y,-z)=(0,0,0)...\Rightarrow 2z=0 2x-y=0 -z=0\Rightarrowx=y/2,z=0,logo
v=(x,y,z)=(y/2,y,0)=y(1/2,1,0)\Rightarrow [N(T)]=[(1/2,1,0)]...
IM(T)={v\in {\Re}^{3}/v=(-2z,2x-y,-z)},entao
v=(2z,2x-y,-z)=x(0,2,0)+y(0,-1,0)+z(2,0,-1),como
x(0,2,0),y(0,-1,0) sao LD (porque?)\Rightarrow [IM(T)]=[(0,2,0),(2,0-1)]
ou [IM(T)]=[(0,-1,0),(2,0-1)]......
b)
T nao é injetiva,pois
DIM(N(T))=1\neq 0...
T nao é sobrejetiva,pois
DIM(IM(T))=2\neq 3...
adauto martins
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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