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[Sequencias] Calculo do limite da sequencia

[Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor Larissa28 » Ter Ago 04, 2015 00:44

Calcule, caso exista (e se não existir justificar) o limite da sequência de termo geral

an = \sqrt[]{n+1} - \sqrt[]{n}
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Re: [Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor nakagumahissao » Ter Ago 04, 2015 19:52

Solução:

\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \,\,\,\,\,\,\,\, [1]

No Passo acima, foi aplicado o seguinte:

Sejam dois números a e b, pertencentes aos reais, sendo que a - b diferente de zero. Então:

a + b = (a+b) \frac{(a-b)}{(a-b)} = \frac{a^2 - b^2}{a - b} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, [2]

Agora, considere que:

a = \sqrt{n+1} \,\,\,\, e \,\,\,\, b = \sqrt{n}

Substituindo estes valores acima em [2], obtem-se o resultado dado em [1] acima. Prosseguindo de [1] teremos:

\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{|n+1| - |n|}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n + 1 - n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =

Como n é sempre positivo, ignoramos o sinal do módulo acima. Desta maneira:

\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

Veja que quando n tende ao infinito,

n \rightarrow \infty \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\infty +1}+\sqrt{\infty}} \,\,\, e \,\,\, \frac{1}{\infty} \,\,\,\,\,\,\,\, [3]

toda a fração tende para zero. Por isto, o resultado é zero.

Nota: As operações realizadas em [3] são apenas ilustrativas e não são válidas como operações. Na realidade, devemos pensar apenas no fato de que n está se aproximando do infinito, seja ele qual for. Infinito não é um número e portanto, não podemos fazer operações com ele. O que se quer dizer em [3] é que, quanto mais nós aumentamos o valor de n em direção ao infinito, teremos um n "grande" e que, estando no denominador da fração, faz com que 1 dividido por um número muito grande tem como resultado um número perto de zero e quanto mais aumentarmos o valor de "n", mais ainda nos aproximaremos de zero.
Editado pela última vez por nakagumahissao em Qua Ago 05, 2015 16:47, em um total de 4 vezes.
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Re: [Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor Larissa28 » Ter Ago 04, 2015 22:10

Muito obrigada.

Gostaria de saber se esta correto desta forma tambem?
Anexos
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Re: [Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor nakagumahissao » Qua Ago 05, 2015 16:08

Larissa,


Cometi um enorme engano na resolução anterior. Fiz as correções necessárias e postei novamente. Me desculpe.

Com o erro que cometi, levei você a pensar que é possível fazer operações com o símbolo de infinito, o que não é verdade.

Nota: As operações realizadas em [3] na minha resolução são apenas ilustrativas e não são válidas como operações. Na realidade, devemos pensar apenas no fato de que n está se aproximando do infinito, seja ele qual for. Infinito não é um número e portanto, não podemos fazer operações com ele. O que se quer dizer em [3] é que, quanto mais nós aumentamos o valor de n em direção ao infinito, teremos um n "grande" e que, estando no denominador da fração, faz com que 1 dividido por um número muito grande tem como resultado um número perto de zero e quanto mais aumentarmos o valor de "n", mais ainda nos aproximaremos de zero. Por isso, o Limite de 1 dividido por um número muito grande e cada vez mais crescendo, tendendo ao infinito, tem como resultado Zero.

Respondendo sua última pergunta:

Até poderia estar correta, no entanto, como não podemos utilizar o símbolo Infinito para fazer "contas",

{e}^{\infty} - {e}^{\infty}

é indefinida e não zero.
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Re: [Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor Larissa28 » Qua Ago 05, 2015 20:45

Agora sim entendi.
Muito obrigada, vou refazer a questão (:
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1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

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Ola

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Atenciosamente


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1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

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1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59