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[Sequencias] Calculo do limite da sequencia

[Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor Larissa28 » Ter Ago 04, 2015 00:44

Calcule, caso exista (e se não existir justificar) o limite da sequência de termo geral

an = \sqrt[]{n+1} - \sqrt[]{n}
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Re: [Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor nakagumahissao » Ter Ago 04, 2015 19:52

Solução:

\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \,\,\,\,\,\,\,\, [1]

No Passo acima, foi aplicado o seguinte:

Sejam dois números a e b, pertencentes aos reais, sendo que a - b diferente de zero. Então:

a + b = (a+b) \frac{(a-b)}{(a-b)} = \frac{a^2 - b^2}{a - b} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, [2]

Agora, considere que:

a = \sqrt{n+1} \,\,\,\, e \,\,\,\, b = \sqrt{n}

Substituindo estes valores acima em [2], obtem-se o resultado dado em [1] acima. Prosseguindo de [1] teremos:

\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{|n+1| - |n|}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n + 1 - n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =

Como n é sempre positivo, ignoramos o sinal do módulo acima. Desta maneira:

\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

Veja que quando n tende ao infinito,

n \rightarrow \infty \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\infty +1}+\sqrt{\infty}} \,\,\, e \,\,\, \frac{1}{\infty} \,\,\,\,\,\,\,\, [3]

toda a fração tende para zero. Por isto, o resultado é zero.

Nota: As operações realizadas em [3] são apenas ilustrativas e não são válidas como operações. Na realidade, devemos pensar apenas no fato de que n está se aproximando do infinito, seja ele qual for. Infinito não é um número e portanto, não podemos fazer operações com ele. O que se quer dizer em [3] é que, quanto mais nós aumentamos o valor de n em direção ao infinito, teremos um n "grande" e que, estando no denominador da fração, faz com que 1 dividido por um número muito grande tem como resultado um número perto de zero e quanto mais aumentarmos o valor de "n", mais ainda nos aproximaremos de zero.
Editado pela última vez por nakagumahissao em Qua Ago 05, 2015 16:47, em um total de 4 vezes.
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Re: [Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor Larissa28 » Ter Ago 04, 2015 22:10

Muito obrigada.

Gostaria de saber se esta correto desta forma tambem?
Anexos
11830762_959897540716149_438080803_n.jpg
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Re: [Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor nakagumahissao » Qua Ago 05, 2015 16:08

Larissa,


Cometi um enorme engano na resolução anterior. Fiz as correções necessárias e postei novamente. Me desculpe.

Com o erro que cometi, levei você a pensar que é possível fazer operações com o símbolo de infinito, o que não é verdade.

Nota: As operações realizadas em [3] na minha resolução são apenas ilustrativas e não são válidas como operações. Na realidade, devemos pensar apenas no fato de que n está se aproximando do infinito, seja ele qual for. Infinito não é um número e portanto, não podemos fazer operações com ele. O que se quer dizer em [3] é que, quanto mais nós aumentamos o valor de n em direção ao infinito, teremos um n "grande" e que, estando no denominador da fração, faz com que 1 dividido por um número muito grande tem como resultado um número perto de zero e quanto mais aumentarmos o valor de "n", mais ainda nos aproximaremos de zero. Por isso, o Limite de 1 dividido por um número muito grande e cada vez mais crescendo, tendendo ao infinito, tem como resultado Zero.

Respondendo sua última pergunta:

Até poderia estar correta, no entanto, como não podemos utilizar o símbolo Infinito para fazer "contas",

{e}^{\infty} - {e}^{\infty}

é indefinida e não zero.
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Re: [Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor Larissa28 » Qua Ago 05, 2015 20:45

Agora sim entendi.
Muito obrigada, vou refazer a questão (:
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D