• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

[Sequencias] Calculo do limite da sequencia

[Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor Larissa28 » Ter Ago 04, 2015 00:44

Calcule, caso exista (e se não existir justificar) o limite da sequência de termo geral

an = \sqrt[]{n+1} - \sqrt[]{n}
Larissa28
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 41
Registrado em: Sáb Mar 21, 2015 17:20
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Eng. de Produção
Andamento: cursando

Re: [Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor nakagumahissao » Ter Ago 04, 2015 19:52

Solução:

\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \,\,\,\,\,\,\,\, [1]

No Passo acima, foi aplicado o seguinte:

Sejam dois números a e b, pertencentes aos reais, sendo que a - b diferente de zero. Então:

a + b = (a+b) \frac{(a-b)}{(a-b)} = \frac{a^2 - b^2}{a - b} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, [2]

Agora, considere que:

a = \sqrt{n+1} \,\,\,\, e \,\,\,\, b = \sqrt{n}

Substituindo estes valores acima em [2], obtem-se o resultado dado em [1] acima. Prosseguindo de [1] teremos:

\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{|n+1| - |n|}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n + 1 - n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =

Como n é sempre positivo, ignoramos o sinal do módulo acima. Desta maneira:

\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

Veja que quando n tende ao infinito,

n \rightarrow \infty \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\infty +1}+\sqrt{\infty}} \,\,\, e \,\,\, \frac{1}{\infty} \,\,\,\,\,\,\,\, [3]

toda a fração tende para zero. Por isto, o resultado é zero.

Nota: As operações realizadas em [3] são apenas ilustrativas e não são válidas como operações. Na realidade, devemos pensar apenas no fato de que n está se aproximando do infinito, seja ele qual for. Infinito não é um número e portanto, não podemos fazer operações com ele. O que se quer dizer em [3] é que, quanto mais nós aumentamos o valor de n em direção ao infinito, teremos um n "grande" e que, estando no denominador da fração, faz com que 1 dividido por um número muito grande tem como resultado um número perto de zero e quanto mais aumentarmos o valor de "n", mais ainda nos aproximaremos de zero.
Editado pela última vez por nakagumahissao em Qua Ago 05, 2015 16:47, em um total de 4 vezes.
Eu faço a diferença. E você?

Do Poema: Quanto os professores "fazem"?
De Taylor Mali
nakagumahissao
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 380
Registrado em: Qua Abr 04, 2012 14:07
Localização: Brazil
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Lic. Matemática
Andamento: cursando

Re: [Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor Larissa28 » Ter Ago 04, 2015 22:10

Muito obrigada.

Gostaria de saber se esta correto desta forma tambem?
Anexos
11830762_959897540716149_438080803_n.jpg
Larissa28
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 41
Registrado em: Sáb Mar 21, 2015 17:20
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Eng. de Produção
Andamento: cursando

Re: [Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor nakagumahissao » Qua Ago 05, 2015 16:08

Larissa,


Cometi um enorme engano na resolução anterior. Fiz as correções necessárias e postei novamente. Me desculpe.

Com o erro que cometi, levei você a pensar que é possível fazer operações com o símbolo de infinito, o que não é verdade.

Nota: As operações realizadas em [3] na minha resolução são apenas ilustrativas e não são válidas como operações. Na realidade, devemos pensar apenas no fato de que n está se aproximando do infinito, seja ele qual for. Infinito não é um número e portanto, não podemos fazer operações com ele. O que se quer dizer em [3] é que, quanto mais nós aumentamos o valor de n em direção ao infinito, teremos um n "grande" e que, estando no denominador da fração, faz com que 1 dividido por um número muito grande tem como resultado um número perto de zero e quanto mais aumentarmos o valor de "n", mais ainda nos aproximaremos de zero. Por isso, o Limite de 1 dividido por um número muito grande e cada vez mais crescendo, tendendo ao infinito, tem como resultado Zero.

Respondendo sua última pergunta:

Até poderia estar correta, no entanto, como não podemos utilizar o símbolo Infinito para fazer "contas",

{e}^{\infty} - {e}^{\infty}

é indefinida e não zero.
Eu faço a diferença. E você?

Do Poema: Quanto os professores "fazem"?
De Taylor Mali
nakagumahissao
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 380
Registrado em: Qua Abr 04, 2012 14:07
Localização: Brazil
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Lic. Matemática
Andamento: cursando

Re: [Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor Larissa28 » Qua Ago 05, 2015 20:45

Agora sim entendi.
Muito obrigada, vou refazer a questão (:
Larissa28
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 41
Registrado em: Sáb Mar 21, 2015 17:20
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Eng. de Produção
Andamento: cursando


Voltar para Sequências

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 0 visitantes

 



Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}