• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Cálculo de notação vetorial e trabalho usando intg. de linha

Cálculo de notação vetorial e trabalho usando intg. de linha

Mensagempor Fernandobertolaccini » Ter Fev 03, 2015 12:43

Se A=(2y+3)i+(xz)j+(yz-x)k, calcular \int_{c}^{ }A.dR ao longo das retas que ligam sucessivamente os pontos (0,0,0) , (0,0,1) , (0,1,1) , (2,1,1)


Resp: 10


Como fazer ?


Obrigado !!
Fernandobertolaccini
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 100
Registrado em: Qui Mai 01, 2014 10:27
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO PROFISSIONALIZANTE
Área/Curso: Licenciatura em Física
Andamento: cursando

Re: Cálculo de notação vetorial e trabalho usando intg. de l

Mensagempor Russman » Ter Fev 03, 2015 19:07

O primeiro passo é calcular o rotacional do campo vetorial em questão. Se o mesmo for nulo para qualquer ponto (x,y,z) então a a integral de linha terá um valor independente do caminho. Infelizmente, não é o caso. Então, primeiramente, calcule o produto interno \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} onde \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = dx \ \widehat{i} + dy  \ \widehat{j} + dz \ \widehat{k}.

Obteremos \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = (2y+3)\  dx + xz \ dy + (yz-x) \ dz.

Agora, o caminho é dividido em 3 partes. Assim,

\int_C \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = \int_{C_1} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} +\int_{C_2} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} + \int_{C_3} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r}

onde cada caminho C_i é a reta que liga os pontos consecutivos.

Como as retas são em 3D o melhor caminho é parametrizá-las. A primeira, deve passar por (0,0,0) e (0,0,1). Assim, uma boa parametrização seria (x,y,z) = (0,0,t).

Daí,

\int_{C_1} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = \int_{0}^{1} \left [(2y(t)+3) dx(t) + x(t)z(t) dy(t) + (y(t)z(t)-x(t)) dz(t)  \right ] = 0.

A parametrização para o próximo caminho pode ser (x,y,z) = (0,t,1) de modo que a integral C_2 também será nula.

Já para o caminho C_3 temos (x,y,z) = (t,1,1) de modo que

\int_{C_3} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = \int_{0}^{2} \left [(2y(t)+3)\  dx(t) + x(t)z(t) \ dy(t) + (y(t)z(t)-x(t)) \ dz(t)  \right ] =
= \int_{0}^{2} 5 dt = 5 (2-0) = 10.

O único caminho que contribui para a integral é o último.
"Ad astra per aspera."
Russman
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1183
Registrado em: Sex Abr 20, 2012 22:06
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Física
Andamento: formado


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 57 visitantes

 



Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?