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Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

Mensagempor fff » Seg Jan 05, 2015 17:15

Mostre, partindo do desenvolvimento de g(x)=log(x+1), que:

f(x)=\frac{1}{1+x^2}=\sum (-1)^nx^{2n}
com raio de convergência r=1.

Ps: Desenvolvimento de g(x)=log(x+1) ->\sum \frac{{(-1)}^{n+1}{x}^{n}}{n}
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Re: Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

Mensagempor Russman » Ter Jan 06, 2015 00:43

Acredito que haja algo errado na questão. Confira o enunciado.
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Re: Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

Mensagempor fff » Ter Jan 06, 2015 09:57

Talvez seja o desenvolvimento do g(x)=log(1+x), neste site diz que é -\sum \frac{{(-1)}^{n}{x}^{n}}{n}, mas neste já diz outra coisa :(
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Re: Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

Mensagempor Russman » Ter Jan 06, 2015 18:50

Eu acreditava que o problema estava mais adiante. Mas, me enganei. Está correto.

De fato, a representação em série de potências das função g(x) = \ln (x+1) é

\ln (x+1) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n

que é equivalente a -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}x^n já que basta fatorar o número (-1)^1 do somatóro.

Fazendo isso, podemos trocar x\rightarrow x^2 na função e obter

\ln(x^2+1)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{2n}.

Agora, derivando com relação a x em ambos os lados, temos

\frac{2x}{1+x^2} =  \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}2n.x^{2n-1}

de onde, simplificando, obtemos

\frac{x^2}{1+x^2} =  \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}x^{2n}

Esta expressão parece correta. Eu tomei x=\frac{1}{2} e somei parcialmente usando método computacional e obtive

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28-1%29%5E%28n%2B1%29+*+%281%2F2%29%5E%282n%29++from+n%3D1+to+n%3D10.

De fato,

\frac{(1/2)^2}{1+(1/2)^2} = 1/5 = 0,2.

Ok!

Agora, se transferirmos o x^2 do numerador da função para a soma, temos

\frac{1}{1+x^2} =  \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}x^{2n-2}  = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}x^{2(n-1)}.

Agora, trocando n-1 \rightarrow n \Rightarrow n \rightarrow n+1, finalmente

\frac{1}{1+x^2} =  \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}

Eu faria assim.
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Re: Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

Mensagempor fff » Qua Jan 07, 2015 18:14

Já percebi, muito obrigada :)
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Neperiano - Sáb Out 01, 2011 19:46

Ola

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O que você não está conseguindo fazer?

Nos mostre para podermos ajudar

Atenciosamente


Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: joaofonseca - Sáb Out 01, 2011 20:15

1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59