Tangente a curva

por **Fernandobertolaccini** » Sex Jul 11, 2014 00:49

Mostre que a tangente à curva

por **e8group** » Dom Jul 13, 2014 16:18

Trata-se de uma família de curvas $\Omega_n , n=1,2,3 ...$ descrita pela equação dada . Fixado

, derivamos implicitamente com respeito à x , temos ( note que podemos escrever y em função de x talvez de duas formas se n for par )

$\frac{n}{a^{n}} \cdot x^{n-1} + \frac{n}{b^{n}} \cdot y^{n-1} \cdot y'(x) = 0 , \forall (x,y) \in \Omega_n$ .

Agora vamos determinar y'(a)

, segue que $\frac{n}{a^{n}} \cdot a^{n-1} + \frac{n}{b^{n}} \cdot [y(a)]^{n-1} \cdot y'(a) = 0$ ou equivalentemente notando que y(a) = b

$\frac{n}{a^{n}} \cdot a^{n-1} + \frac{n}{b^{n}} \cdot b^{n-1} \cdot y'(a) = 0$ que simplificando e isolando y'(a) tem-se

$y'(a) = - \frac{b}{a}$ que é o coeficiente angular da reta tangente à curva $\Omega_n$ no ponto (a,b)

e sabemos que eq. desta reta é dada por

$y - b = - \frac{b}{a}(x-a)$ (y-f(a)=f'(a)(x-a) )

Manipulando chegará no resultado .

Tangente a curva

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