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Trigonometria - Equações

Trigonometria - Equações

Mensagempor Fontelles » Qua Dez 09, 2009 01:46

Boa noite, pessoal! Sou novo por aqui. Este é o meu primeiro tópico. Estudo pela coleção do Gelson Iezzi - Trigonometria atualmente, e me deparo com algumas inconstâncias do gabarito dado.
A Questão que me atordoa no momento é a seguinte:
- Obtenha as soluções da equação: sen4x+ cos4x = 1
Respondi da seguinte forma:
sen4x + cos4x = 1
cos4x = 1 - sen4x
Sabe-se que: cos²x + sen²x = 1, logo,
sen²4x + cos²4x = 1
sen²4x + (1-sen4x)² = 1
sen²4x + 1 -2sen4x + sen²4x = 1
2sen²4x - 2sen4x = 0
2sen4x(sen4x - 1) = 0
sen4x= 0 ou sen4x=1
Para sen4x=0 => sen4x = sen0
4x = 0 + 2kpi => x = kpi/2
ou
4x = pi + 2kpi => x = pi/4 + kpi/2
Para sen4x = 1 => sen4x = sen(pi/2)
4x = pi/2 +2kpi => x = pi/8 + kpi/2
S={x € R | x = kpi/2 ou x = pi/4 + kpi/2 ou x = pi/8 + kpi/2}
Bom, como havia dito, o gabarito não corresponde à minha solução. O gabarito é este:
x = kpi/2 ou x = pi/8 + kpi/2
Alguém pode me dizer se sou eu ou o livro que está errado?
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Re: Trigonometria - Equações

Mensagempor Elcioschin » Qua Dez 09, 2009 12:05

Lembrando que 2*sena*cosa = sen2a

sen4x + cos4x = 1 ----> (sen4x + cos4x)² = 1² ----> sen²4x + cos²4x + 2*sen4x*cos4x = 1 ----> 2*sen4x*cos4x = 0 --->

sen8x = 0 ---> Temos duas soluções:

8x = 2kpi ----> x = kpi/4

8x = 2kpi + pi ----> 8x = (2k + 1)pi -----> x = (2k + 1)pi/8

Na primeira volta (para 0 =< k =< 8) temos:

k = 0 ----> x = 0 ou x = pi/8
k = 1 ----> x = pi/4 ou x = 3pi/8
k = 2 ----> x = pi/2 ou x = 5pi/8
k = 3 ----> x = 3pi/4 ou x = 7pi/8
k = 4 ----> x = pi ou x = 9pi/8
k = 5 ----> x = 5pi/4 ou x = 11pi/8
k = 6 ----> x = 3pi/2 ou x = 13pi/8
k = 7----> x = 7pi/4 ou x = 15pi/8
k = 8 ----> x = 2pi


Os arcos variam de pi/8, logo a solução geral é ----> x = kpi/8
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Re: Trigonometria - Equações

Mensagempor Fontelles » Qua Dez 09, 2009 18:16

Elcioschin, você pode me mostrar onde errei, por favor?
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Re: Trigonometria - Equações

Mensagempor Elcioschin » Qua Dez 09, 2009 18:56

Fontelles

Você não errou. Você somente deixou de apresentar a resposta na forma mais adequada.

Vou copiar o final da sua demonstração e mostrar as alterações necessárias em vermelho:

sen4x = 0 ou sen4x =1

Para sen4x = 0 => sen4x = sen0

4x = 0 + 2kpi => x = kpi/2
ou
4x = pi + 2kpi => x = pi/4 + kpi/2 ----> x = (2k + 1)pi/4

Para sen4x = 1 => sen4x = sen(pi/2)
4x = pi/2 + 2kpi => x = pi/8 + kpi/2 ----> x = (4k + 1)pi/8

Note agora, que, na sua 1ª resposta ----> x = kpi/2 = 4kpi/8 ----> Múltiplos de pi/8
Note também que, na sua 2ª resposta ---> x = (2k + 1)pi/4 = 2*(2k + 1)pi/8 ---> Múltiplos de pi/8
E finalmente na sua 3ª resposta ----> x = (4k + 1)pi/8 ----> Múltiplos de pi/8


S={x € R | x = kpi/8}

Assim, a resposta do livro não está errada. Mas poderia ser uma resposta mais simples:

x = Kpi/8 ----> Para K = 4k ----> x = kpi/2 ---> Resposta do livro

Outra resposta do livro ---> x = pi/8 + kpi/2 ----> x = (4k + 1)*(pi/8) ----> múltiplo de pi/8 ----> Kpi/8

Deu para entender ?
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Re: Trigonometria - Equações

Mensagempor Fontelles » Qua Dez 09, 2009 19:19

Uhhhh! Valeu, Elcioschin!
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}