Funções - Inequações

por **kellykcl** » Seg Mar 17, 2014 20:42

Boa noite amigos do fórum!

1.Resolva a seguinte inequação: $\frac{1}{x-3}\leq\frac{1}{2x+1}$
Resolução:

$\frac{1}{x-3}-\frac{1}{2x+1}\leq 0$

Tirando o m.m.c dos denominadores:

$\frac{2x+1-1(x-3)}{(x-3)(2x+1)}\leq 0\:\:\Rightarrow\frac{2x+1-x+3}{{2x}^{2}+x-6x-3}\leq 0\:\:\Rightarrow\frac{x+4}{{2x}^{2}-5x-3}\leq 0$

Achando as Raízes:

$(I)\,x+4=0\:\:\:\rightarrow x=-4$

$(II)\,{2x}^{2}-5x-3=0$
$\bigtriangleup=\left(-5\right)^{2}-4(2)(-3)$
$\bigtriangleup=49$

>>>Bhaskara:
$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2.2}$

$x'\,=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$

$x"\,=\frac{5-7}{4}=\frac{-2}{4}= \frac{-1}{2}$

: Estudo dos sinais; quadro de sinais.JPG (12.64 KiB) Exibido 2309 vezes

$S=\{x\in\Re|x\leq-4 \:\:ou -\frac{1}{2}<x<3\}$

Gostaria que algum amigo mais safo em matemática, verificasse se minha resolução está correta (principalmente o estudo de sinais)!
obs.: Não tenho o gabarito!
Desde já agradeço a colaboração!

por **Russman** » Seg Mar 17, 2014 21:24

Eu acho que você tenha feito um esforço tremendo pra algo simples.

Note que

$\frac{1}{x-3}\leq \frac{1}{2x+1}\Rightarrow \frac{2x+1}{x-3}\leq 0$ .

Como sabido, a divisão de dois reais só será negativa se os mesmos tiverem sinais trocados. Assim, temos as possibilidades

(1) $2x+1\leq 0 ,\quad x-3> 0$ ( aqui,

não pode ser

)
(2) $2x+1 \geq 0 ,\quad x-3< 0$

Daí, depois de resolver, retire o caso de $x=-\frac{1}{2}$ pois é raiz do denominador da equação original como x=3

.

por **ant_dii** » Seg Mar 17, 2014 22:45

Bom, cuidado com a equivalência Russman. Tome x=-5

e verifique se vale a relação que você afirmou.
Na verdade ela poderia ter evitado somente o uso de Bháskara, uma vez que x-3

e

já declaram os valores em que

se anula. Mas fez tudo correto.

por **Russman** » Seg Mar 17, 2014 22:53

ant_dii escreveu:Bom, cuidado com a equivalência Russman. Tome e verifique se vale a relação que você afirmou.

Era pra ser " $\leq 1$ " na inequação! hahah Falta de atenção.

Desconsiderem aí.

por **kellykcl** » Ter Mar 18, 2014 10:11

Russman escreveu:Eu acho que você tenha feito um esforço tremendo pra algo simples.

Note que

$\frac{1}{x-3}\leq \frac{1}{2x+1}\Rightarrow \frac{2x+1}{x-3}\leq 0$ .

Como sabido, a divisão de dois reais só será negativa se os mesmos tiverem sinais trocados. Assim, temos as possibilidades

(1) $2x+1\leq 0 ,\quad x-3> 0$ ( aqui, não pode ser )
(2) $2x+1 \geq 0 ,\quad x-3< 0$

Daí, depois de resolver, retire o caso de $x=-\frac{1}{2}$ pois é raiz do denominador da equação original como .