[SÉRIE] teste de comparação para convergência

por **magellanicLMC** » Ter Jan 28, 2014 20:47

usando o teste da comparação para determinar se a série é convergente
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{sen}^{2}n}{{3}^{n}}$
minha dúvida é em relação a qual série eu consigo calcular

por **e8group** » Ter Jan 28, 2014 23:54

Lembre-se que função seno é limitada ,pois , $|sin(x)| \leq 1$ para todo

e em consequência

$|sin^2(x)| = sin^2(x) \leq 1$ o que implica $\frac{sin^2n}{3^n} \leq \frac{1}{3^n}$ .Daí vem ,

$\sum \frac{sin^2 n}{3^n} \leq \sum \frac{1}{3^n}$ ... Tente conluir ..

Uma proposição válida para séries de termos não-negativos : Se existem c >0

e $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $a_n \leq c \cdot b_n \forall n > n_0$ ,então a convergência de $\sum b_n$ implica a de $\sum a_n$ .

por **magellanicLMC** » Sáb Fev 01, 2014 16:56

isso quer dizer que para tds comparação com função trigonométrica eu vou considerar o círculo trigonométrico como limitante? aliás para tg isso n valeria (corrija-me se estiver errada) eu prossegui e considerando que $\frac{1}{{3}^{n}}$ é série geométrica com $\left|r \right| < 1$ ela converge, como a superior converge a inferior convergirá também, acredito que esteja certo.

muito obrigada santhiago!!

por **e8group** » Sáb Fev 01, 2014 18:12

Não há de quê ... Tudo que você disse acima está correto .Este exemplo concreto ,me levou pensar em um resultado que possa ser útil para caso mais gerais. O raciocínio é bem simples ,vejamos :

Dadas as sequências de números reais (a_n)

e

. Faz-se as seguintes hipóteses :

(1) A sequência (b_n)

é limitada (convergente ou não)

(2) A sequência (a_n b_n)

é de termos não-negativos .

(3) A série $\sum a_n$ é absolutamente convergente .

Afirmamos que uma série de termo geral que satisfaz (1) ,(2) e (3) é convergente . Uma possível demonstração :

Por (1)

, segue-se que existe M > 0

tal que $|b_n| \leq M$ para todo

natural . Multiplicando-se esta desigualdade por |a_n|

,temos

$|a_n| |b_n| = |a_n\cdot b_n| \leq |a_n| \cdot M$ . E assim pela hipótese (2) , obtemos

$a_n \cdot b_n \leq M \cdot |a_n|$ para todo

e consequentemente ,

$\sum a_n \cdot b_n \leq \sum M \cdot |a_n|$ . Daí de (3) resulta (pela proposição postei anteriormente) que a série $\sum a_nb_n$ converge .

Aplicações :

(a)

Se considerarmos a_n = 1/3^n

e

.As hipóteses (1) ,(2) e (3) são satisfeitas , logo a série de termo geral a_n b_n

converge .

(b)

Se considerarmos a_n = 1/3^n

e

.As hipóteses (1) e (3) são satisfeitas , entretanto a (2) não o é . Porém a série $\sum |a_n b_n|$ é convergente (porque???) , logo a série $\sum a_n b_n$ é absolutamente convergente e portanto ela é convergente .

Acredito que há resultados mais 'fortes' que este proposto cuja aplicabilidade seja superior , de qualquer forma espero que ajude .

por **magellanicLMC** » Sáb Fev 01, 2014 18:30

n tenho certeza mas na tua primeira condição $({b}_{n})$ ser limitada n implicaria automaticamente que a série da soma de $({b}_{n})$ será convergente? tendo um limite superior por exemplo,
acho que entendi o que tu disse, basicamente uma relação entre condição e definição, com certeza ajudou :-D

n esperava uma explicação tão detalhada! obrigada novamente.

por **e8group** » Sáb Fev 01, 2014 19:03

magellanicLMC escreveu:n tenho certeza mas na tua primeira condição $({b}_{n})$ ser limitada n implicaria automaticamente que a série da soma de $({b}_{n})$ será convergente? tendo um limite superior por exemplo,
acho que entendi o que tu disse, basicamente uma relação entre condição e definição, com certeza ajudou
n esperava uma explicação tão detalhada! obrigada novamente.

Na minha opinião seu primeiro argumento está incorreto . Vou responder com contra exemplo . Seja (b_n)

limitada inferiormente por

e superiormente por

. Da hipótese , segue

b_n > 1

para todo

. Logo o termo geral não és um infinitesimal pelo que a série diverge .

Para ser mais exato ... Basta por b_n := sin(1/n)/n +1

.É claro que (b_n) é limitada , mas seu limite não zero .Logo a série diverge ...

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