[Cálculo] Exercício - URGENTE!

por **Pessoa Estranha** » Sex Jan 03, 2014 00:35

Olá, pessoal!

Preciso de uma dica para encontrar a área da interseção das regiões limitadas pelas seguintes curvas:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=rh ... 28theta%29

Obrigada!

por **e8group** » Sex Jan 03, 2014 12:32

Já tentou obter a interseção entre elas ?

$1 + sin \theta = 2 - sin\theta \implies 2 sin \theta = 1 \implies sin \theta = 1/2$ . Na primeira volta , os ângulos cujo seno vale 1/2 são $\pi/6$ e $\pi - \pi/6 = 5 \pi/6$ . Tente esboçar as curvas . Pelo esboço das curvas você consegue concluir .

por **Pessoa Estranha** » Sex Jan 03, 2014 14:51

No caso de coordenadas polares, eu não sei como fazer. Fiz um esboço das duas curvas, mas em coordenadas polares. Para calcular a interseção entre ambas, não consigo entender o que fazer. Sei que deve aplicar integral, mas como fazer isto para um determinado intervalo, sendo que temos um desenho como, a grosso modo, uma "circunferência", ou melhor, curvas semelhantes ao cardióide. Não sei se estou escrevendo absurdos, mas é isso.... :oops:

Obrigada!

por **Pessoa Estranha** » Sex Jan 03, 2014 15:26

Seria calcular: $\frac{1}{2}.2\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{(1+sin\theta)}^{2} + \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}{(2-sin\theta)}^{2}$ ?

Se for assim, então acho que entendi!

por **e8group** » Sex Jan 03, 2014 16:18

A respeito do cálculo do integral não tenho 100% de certeza o que vou dizer se está certo . A respeito das interseções entre ambas curvas ,pode ser obtida conforme fazemos com as curvas no plano xy ,estas curvas estão no plano

. Cada uma destas curvas podem ser descritas pelos subconjuntos do plano

,que são $A_1 = \{(r,t) \in \mathbb{R}^2 ; r = 1 + sin t \}$ e $A_2 = \{(r,t) \in \mathbb{R}^2 ; r = 2 - sin t \}$ . A interseção entre as duas curvas é descrita pelo conjunto , $A_1 \cap A_2$ .Logo , $(r,t) \in A_1 \cap A_2$ sse $(r,t) \in A_1$ e $(r,t) \in A_2$ sse

e

... Acredito que isto responde a sua dúvida

Pessoa Estranha escreveu: Para calcular a interseção entre ambas, não consigo entender o que fazer.

PS.: Troquei rho por r e theta por t apenas por simplicidade .

Se impormos que t (theta) varia em $[0,2\pi]$ , e digitando

" area between the curves r = 2 - sin (t) and r= 1 + sin (t) , from t = 0 to 2pi " lá no wolfram alpha ,ele computa a área .

A grosso modo, na minha opinião , esboçando as curvas é possível ver quem esta acima e abaixo em um determinado intervalo $\subset [0,2\pi]$ . Calculando as integrais sobre os intervalos $[0,\pi/6] , [\pi/6,5\pi/6] ,[5\pi/6 ,2\pi]$ e somando obterá o resultado . Em cada intervalo é possível ver qual curva está acima e abaixo .

por **Pessoa Estranha** » Sex Jan 03, 2014 18:25

Olá!

Fiz como você disse, mas o meu resultado deu diferente. Olha, no wolframalpha deu http://www.wolframalpha.com/input/?i=ar ... +0+to+2pi+ , mas no meu deu aproximadamente 10.12.

Penso que pode ser por conta da fórmula usada para calcular áreas de curvas em coordenadas polares (tem o 1/2 antes de cada integral). Será que estou certa?

Muito Obrigada pela ajuda! :-D

por **e8group** » Sáb Jan 04, 2014 15:04

Você tem razão ,pesquisei na internet e encontrei a fórmula que você mencionou . Achei interessante e quero estudar a dedução dá formula ,daí estarei habilitado p/ responder com mais certeza .Mas, aplicando a fórmula vc obteve o resultado que você citou ?

por **Pessoa Estranha** » Sáb Jan 04, 2014 15:39

Então, aplicando a fórmula eu cheguei numa expressão que equivale à aproximadamente 10.12, mas não sei se está certo; posso ter errado em alguma passagem de manipulação algébrica. Fiquei pensando que a área da curva em coordenadas polares seria igual à área da mesma curva, mas em coordenadas cartesianas e, por isso, acho que o meu resultado pode estar errado. Mas não tenho certeza. Na verdade, preciso estudar mais este assunto....

Obrigada! :-D