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[Cálculo] Exercício - URGENTE!

[Cálculo] Exercício - URGENTE!

Mensagempor Pessoa Estranha » Sex Jan 03, 2014 00:35

Olá, pessoal!

Preciso de uma dica para encontrar a área da interseção das regiões limitadas pelas seguintes curvas:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=rh ... 28theta%29

Obrigada!
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Re: [Cálculo] Exercício - URGENTE!

Mensagempor e8group » Sex Jan 03, 2014 12:32

Já tentou obter a interseção entre elas ?

1 + sin \theta = 2 - sin\theta  \implies 2 sin \theta = 1 \implies  sin \theta = 1/2 . Na primeira volta , os ângulos cujo seno vale 1/2 são \pi/6 e \pi - \pi/6  = 5 \pi/6 . Tente esboçar as curvas . Pelo esboço das curvas você consegue concluir .
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Re: [Cálculo] Exercício - URGENTE!

Mensagempor Pessoa Estranha » Sex Jan 03, 2014 14:51

No caso de coordenadas polares, eu não sei como fazer. Fiz um esboço das duas curvas, mas em coordenadas polares. Para calcular a interseção entre ambas, não consigo entender o que fazer. Sei que deve aplicar integral, mas como fazer isto para um determinado intervalo, sendo que temos um desenho como, a grosso modo, uma "circunferência", ou melhor, curvas semelhantes ao cardióide. Não sei se estou escrevendo absurdos, mas é isso.... :oops:

Obrigada!
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Re: [Cálculo] Exercício - URGENTE!

Mensagempor Pessoa Estranha » Sex Jan 03, 2014 15:26

Seria calcular: \frac{1}{2}.2\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{(1+sin\theta)}^{2} + \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}}{(2-sin\theta)}^{2} ?

Se for assim, então acho que entendi!
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Re: [Cálculo] Exercício - URGENTE!

Mensagempor e8group » Sex Jan 03, 2014 16:18

A respeito do cálculo do integral não tenho 100% de certeza o que vou dizer se está certo . A respeito das interseções entre ambas curvas ,pode ser obtida conforme fazemos com as curvas no plano xy ,estas curvas estão no plano rt . Cada uma destas curvas podem ser descritas pelos subconjuntos do plano rt ,que são A_1 = \{(r,t) \in \mathbb{R}^2 ; r = 1 + sin t \} e A_2 = \{(r,t) \in \mathbb{R}^2 ; r = 2 - sin t \} . A interseção entre as duas curvas é descrita pelo conjunto , A_1 \cap A_2 .Logo , (r,t) \in A_1 \cap A_2 sse (r,t) \in A_1 e (r,t) \in A_2 sse r =  1 + sin t e r = 2 - sin t ... Acredito que isto responde a sua dúvida
Pessoa Estranha escreveu: Para calcular a interseção entre ambas, não consigo entender o que fazer.




PS.: Troquei rho por r e theta por t apenas por simplicidade .

Se impormos que t (theta) varia em [0,2\pi], e digitando

" area between the curves r = 2 - sin (t) and r= 1 + sin (t) , from t = 0 to 2pi " lá no wolfram alpha ,ele computa a área .

A grosso modo, na minha opinião , esboçando as curvas é possível ver quem esta acima e abaixo em um determinado intervalo \subset [0,2\pi] . Calculando as integrais sobre os intervalos [0,\pi/6] , [\pi/6,5\pi/6] ,[5\pi/6 ,2\pi] e somando obterá o resultado . Em cada intervalo é possível ver qual curva está acima e abaixo .
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Re: [Cálculo] Exercício - URGENTE!

Mensagempor Pessoa Estranha » Sex Jan 03, 2014 18:25

Olá!

Fiz como você disse, mas o meu resultado deu diferente. Olha, no wolframalpha deu http://www.wolframalpha.com/input/?i=ar ... +0+to+2pi+ , mas no meu deu aproximadamente 10.12.

Penso que pode ser por conta da fórmula usada para calcular áreas de curvas em coordenadas polares (tem o 1/2 antes de cada integral). Será que estou certa?

Muito Obrigada pela ajuda! :-D
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Re: [Cálculo] Exercício - URGENTE!

Mensagempor e8group » Sáb Jan 04, 2014 15:04

Você tem razão ,pesquisei na internet e encontrei a fórmula que você mencionou . Achei interessante e quero estudar a dedução dá formula ,daí estarei habilitado p/ responder com mais certeza .Mas, aplicando a fórmula vc obteve o resultado que você citou ?
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Re: [Cálculo] Exercício - URGENTE!

Mensagempor Pessoa Estranha » Sáb Jan 04, 2014 15:39

Então, aplicando a fórmula eu cheguei numa expressão que equivale à aproximadamente 10.12, mas não sei se está certo; posso ter errado em alguma passagem de manipulação algébrica. Fiquei pensando que a área da curva em coordenadas polares seria igual à área da mesma curva, mas em coordenadas cartesianas e, por isso, acho que o meu resultado pode estar errado. Mas não tenho certeza. Na verdade, preciso estudar mais este assunto....

Obrigada! :-D

:y:
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Re: [Cálculo] Exercício - URGENTE!

Mensagempor Man Utd » Sáb Jan 04, 2014 20:00

Eu acho que o correto seria:

\frac{1}{2}*\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \; ((1+sen\theta)^2-(2-sen\theta)^2) \; d\theta
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?