[Cálculo] Integral

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Mensagempor Pessoa Estranha » Seg Out 28, 2013 18:36

Olá.... Gostaria de ajuda para resolver a seguinte integral:

\int_{}^{}{cos}^{4}x dx

Teria como resolver sem usar as fórmulas de recorrência ? Tentei resolver sem usa-las, mas cheguei a um resultado totalmente errado !

Obrigada.
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Re: [Cálculo] Integral

Mensagempor e8group » Seg Out 28, 2013 19:34

Sim . Comece observando que podemos escrever cos^4 x como [cos^2x]^2 .Para prosseguir , tente reescrever cos^2 x em função de cos(2x) ,logo após , surgirá um termo cos^2(2x) que também pode ser explicitado em termos de cos(4x) .

Alternativamente , suponha que se tenha um termo sob a forma cos(m)cos(n) . Somando as expressões abaixo ,

cos(m+n) = cos(m)cos(n) - sin(m)sin(n)

cos(m-n) = cos(m)cos(n) + sin(m)sin(n)

Obterá :

\frac{cos(m+n)+ cos(m-n) }{2} = cos(m)cos(n) .

Basta então aplicar a fórmula acima com x = m = n

De forma mais geral é sempre possível transformar produtos da forma \prod_{i} \prod_{j} cos(a_i) sin(b_j) em soma \sum \alpha_j sin(p_j) + \sum \beta_j cos(l_j)

.
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Re: [Cálculo] Integral

Mensagempor Pessoa Estranha » Seg Out 28, 2013 20:01

Obrigada ! :y:
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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