Progressão Aritmética

[zenildo]

Um dos reservatórios de água de um condomínio empresarial apresentou um vazamento a uma taxa constante, às 12 horas do dia 1° de outubro.Às 12 horas dos dias 11 e 19 do mesmo mês, os volumes d' água no reservatório eram, respectivamente, 315 mil litros e 279 mil litros. Dentre as alternativas seguintes, qual delas indica o dia em que o reservatório esvaziou totalmente?

a) 16 de dezembro
b) 17 de dezembro
c) 18 de dezembro
d) 19 de dezembro
e) 20 de dezembro

[Russman]

Contaremos os dias com a variável n e diremos que n=1 corresponde às 12 horas de 1° de Outubro. Assim, às 12 horas de 2 de Outubro será o correspondente a n=2 e assim sucessivamente.
Como o reservatório apresenta uma taxa de vazamento constante, seja ela x, por exemplo, então o volume de água do dia n, que chamaremos de V(n), é dado por

V(n) = V(1) + (n-1) x

Precisamos calcular para qual n, isto é , em que dia o reservatório fica vazio. Ou seja, precisamos resolver V(n) = 0. Veja que , isolando o n, temos

V(n) = V(1) + (n-1) x
0 = V(1) + (n-1)x
-\frac{V(1)}{x} = n - 1
n = 1 - \frac{V(1)}{x}

Ou seja, para calcular n precisamos calcular V(1) e x.

As informações que temos são:

Às 12 horas dos dias 11 e 19 do mesmo mês, os volumes d' água no reservatório eram, respectivamente, 315 mil litros e 279 mil litros

Com estas obtemos o sistema:

315 = V(1) + (11-1)x
279 = V(1) + (19-1)x

315 = V(1) + 10x
279 = V(1) + 18x

Resolvendo-o você deve calcular V(1) = 360 mil litros e x = -(9/2) mil litros por dia. Note que x <0 como deveria ser, já que o reservatório perde volume.

Disto, n = 81. Acredito que seja dia 20 de Dezembro.

[zenildo]

olha,eu não entendi sua resolução.

[Russman]

Tô olhando, mas que parte você não entendeu?

[zenildo]

Observe, eu não entendi essa parte, porque ela está muito confusa.De tal forma que, -\frac{V(1)}{x} = n - 1 e n = 1 - \frac{V(1)}{x} está meia complexa.
n = 1 - \frac{V(1)}{x}

V(n) = V(1) + (n-1) x
0 = V(1) + (n-1)x
-\frac{V(1)}{x} = n - 1
n = 1 - \frac{V(1)}{x}

Essa outra também, porque não entendi como achou os dados:
Resolvendo-o você deve calcular V(1) = 360 mil litros e x = -(9/2) mil litros por dia. Note que x <0 como deveria ser, já que o reservatório perde volume.

[Russman]

A função que relaciona o volume V com o dia n é V(n) = V(1) + (n-1)x .

Se você quer calcular para qual dia o reservatório fica vazio você tem que calcular para qual n que V(n) = 0.
O volume do reservatório ser 0 significa q ele está vazio.

Assim, só o que eu fiz foi resolver 0 = V(1) + (n-1)x para n. Isto é, isolei n.

n = 1 - (V(1)/x)

Se você conhece os valores de V(1) e x então n está ali, só calcular. Aí que entra os dados do problema : pra calcular V(1) e x.

[zenildo]

EU ENTENDI AGORA, MAS EU QUERIA SABER COMO CHEGOU A CONCLUSÃO V(1)=360 MIL LITROS E X=-9/2.

[Russman]

É só resolver o sistema

315 = V(1) + 10x
279 = V(1) + 18x

Você o obtém usando os dados do problema, como eu mostrei antes.

Veja que subtraindo uma equação da outra você chega em

315 - 279 = 10x - 18x
36 = -8x
x= -9/2

E se x = -9/2 então V(1) = 315 - 10x = 315 + 10.9/2 = 315+45 = 360.

Entende agora? Solução de sistema de duas equações a duas variáveis.

[zenildo]

VALEU!!! É PORQUE AINDA NÃO TENHO O BRILHO...

[zenildo]

MAIS UMA COISA, PARA NÃO SER MAIS CHATO, COMO DEDUZIU QUE DANDO 81 20 DE DEZEMBRO?

[zenildo]

EU ACHO QUE ENTENDI A RESPOSTA FINAL, POIS SÓ É SOMAR 70+10=80

[Russman]

Os 81 dias, a contar de 1° de Outubro, são 31 dias de Outubro, mais 30 dias de Novembro ( que somam 61) e mais os 20 dias de dezembro que faltam pra completar 81 em 61. Assim, eu acho que a resposta é 20 de Dezembro.