[Equação] Potência no denominador

por **manoelcarlos** » Sex Ago 23, 2013 01:21

Pessoal, boa noite;

Este é o meu terceiro tópico, cada um com uma dúvida diferente, pois me matriculei em engenharia e preciso relembrar todo o ensino médio: acreditem, estou estudando MUITO pra recuperar esse tempo. Peguei uma equação para tentar resolver, mas não consigo nem dar o primeiro passo desta vez por causa de um x² no denominador. Se alguém puder me ajudar com isso, terá minha eterna gratidão!rs

A equação é $\frac{3}{x} + \frac{1}{x-1} = \frac{-3x + 4}{{x}^{2}-x}$

E agora, por onde começar?

por **Luis Gustavo** » Sex Ago 23, 2013 13:58

Teoricamente, acho que você teria que resolver assim:

mmc(x,x-1)=x(x-1)=x^2-x

$\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{-3x+4}{x^2-x}$

$\dfrac{3(x-1)+1\cdot x}{\cancel{x^2-x}}=\dfrac{-3x+4}{\cancel{x^2-x}}$

3x-3+x=-3x+4

Mas, se

for

, teremos duas divisões por zero D:

por **manoelcarlos** » Seg Ago 26, 2013 01:02

Luis Gustavo escreveu:Teoricamente, acho que você teria que resolver assim:

$\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{-3x+4}{x^2-x}$

$\dfrac{3(x-1)+1\cdot x}{\cancel{x^2-x}}=\dfrac{-3x+4}{\cancel{x^2-x}}$

Mas, se for , teremos duas divisões por zero D:

Muito obrigado pela resposta, Luis. Como assim "se x for 1, teremos duas divisões por zero"? Não entendi essa parte.

abraço

por **Russman** » Seg Ago 26, 2013 02:46

Esta equação é uma equação que degenera para x=0

e

. Veja que se x=0

a primeira parcela, que é $\frac{3}{x}$ fica $\frac{3}{0}$ que não faz sentido. Ainda se x=0

a última parcela também degenera, pois $frac{-3x+4}{x^2-x} = \frac{4}{0-0} = \frac{4}{0}$ que também não faz sentido assim como pra x=1

pois para este $frac{-3x+4}{x^2-x} = \frac{-3+4}{1-1} = \frac{1}{0}$ que não faz sentido novamente. Logo, a equação pode admitir valores de

que sejam diferentes de

e

.

$\frac{3}{x} + \frac{1}{x-1} = \frac{-3x+4}{x^2-x} \quad \mbox{para} \quad x \neq 0 \quad \mbox{e} \quad x \neq 1$ .

Para resolver a equação você deve tentar igualar todos os denominadores. O mínimo múltiplo comum entre eles é uma boa, mas eu prefiro somar as parcelas como fazemos para frações.

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$

Logo, a equação fica

$\frac{3(x-1)+x}{x(x-1)} = \frac{-3x+4}{x^2-x}$

Note que

, de modo que os numeradores das frações de cada lado devem ser iguais pois os denominadores já o são. Assim,

3(x-1) + x = -3x+4

A solução

é da equação 3(x-1) + x = -3x+4

que foi obtida simplificando $\frac{3}{x} + \frac{1}{x-1} = \frac{-3x+4}{x^2-x}$ . Mas como para a eq. original excluímos x=1

do conjunto Universo( que são os valores aceitáveis de

) o conjunto Solução da eq. original é vazio. Isto é, não existe valor de

que a satisfaça.

$\frac{3}{x} + \frac{1}{x-1} = \frac{-3x+4}{x^2-x}$
$U = \left \{ x \in\mathbb{R}|x \neq0,x \neq 1 \right \}=\left \{ \mathbb{R} \right \}-\left \{ 0,1 \right \}$
$S=\left \{ \varnothing \right \}$

por **Luis Gustavo** » Seg Ago 26, 2013 15:04

manoelcarlos escreveu:
Luis Gustavo escreveu:Teoricamente, acho que você teria que resolver assim:

$\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{-3x+4}{x^2-x}$

$\dfrac{3(x-1)+1\cdot x}{\cancel{x^2-x}}=\dfrac{-3x+4}{\cancel{x^2-x}}$

Mas, se for , teremos duas divisões por zero D:

Muito obrigado pela resposta, Luis. Como assim "se x for 1, teremos duas divisões por zero"? Não entendi essa parte.

abraço

É o que o amigo aí em cima disse: Se x=1

, então a equação fica

$\dfrac{3}{1}+\dfrac{1}{1-1}=\dfrac{-3\cdot1+4}{1^2-1}=3+\dfrac{1}{0}=-\dfrac{1}{0}$

Viu? Temos duas divisões por zero, o que implica que x=1

não é uma solução válida.

por **manoelcarlos** » Seg Ago 26, 2013 15:07

Russman e Luis Guistavo, muito obrigado pela ajuda. Ainda não absorvi todas as informações, mas vou passar a tarde estudando esse problema. Muito obrigado mesmo!!!!