[Derivada]

por **Pessoa Estranha** » Dom Ago 25, 2013 12:40

Olá.... Estou com dificuldade para resolver a seguinte questão.

Seja $y={t}^{2}x$ , onde x=x(t)

é uma função derivável. Calcule ${\frac{dy}{dt}}_{t=1}$ , supondo ${\frac{dx}{dt}}_{t=1}=2$ e x=3 para t=1.

Tentei resolver de duas maneiras.
Primeiro usei a regra do produto:

${\frac{dy}{dt}}_{t=1}={\frac{d}{dt}}_{t=1}({t}^{2}.x)= {\frac{d{t}^{2}}{dt}}_{t=1}$ $={\frac{d{t}^{2}}{dt}}_{t=1} . x + {\frac{dx}{dt}}_{t=1}. {t}^{2}$ $= 2.t.x+2.{t}^{2}=2.3.1+2.1=6+2=8$ .

Esta é a resposta correta, porém eu também tentei resolver utilizando a regra da cadeia, mas deu errado.

${\frac{dy}{dt}}_{t=1}={\frac{dy}{dx}}_{x=3}.{\frac{dx}{dt}}_{t=1}={\frac{d}{dx}}_{x=3}({t}^{2}.x).{\frac{dx}{dt}}_{t=1}=($ ${\frac{d{t}^{2}}{dx}}_{x=3}.x+{\frac{dx}{dx}}_{x=3}.{t}^{2}$ ) ${\frac{dx}{dt}}_{t=1}$ =6

por **Pessoa Estranha** » Dom Ago 25, 2013 14:04

Na verdade, na regra da cadeia, nas minhas contas, deu 2 e não 6.
-(a resposta certa é 8).

por **Pessoa Estranha** » Dom Ago 25, 2013 14:06

Pessoal, por favor, ajudem-me!!!! A prova é amanhã!!!! :-O

por **e8group** » Dom Ago 25, 2013 16:31

Boa tarde . Sua primeira solução está correta . Observe que

é função real de uma variável real assim como a função $g:t \mapsto g(t)=t^2$ também o é .Como ambas funções possuem regras de associações dependentes da mesma variável

.Logo o produto destas funções fornecerá uma nova função cuja regra de associação(também só dependendo de

) desta função será $(g\cdot x)(t) = g(t) \cdot x(t) = t^2 \cdot x(t)$ . Na minha opinião o resultado que temos que usar para derivar esta função é a regra do produto e não a regra da cadeia . Espero que ajude .

por **Russman** » Dom Ago 25, 2013 18:53

Aplique a regra do produto!

d(uv) = udv+vdu

Assim,

d(t^2x) = t^2dx + xd(t^2) = t^2 dx + 2xdt

e $\frac{d(t^2x)}{dt} = t^2 (dx/dt) + 2x$ . Desse modo, para t=1

, temos

$\frac{d(t^2x)}{dt} = 1^2 2 + 2.3 = 2+6 = 8$ .

Regra da cadeia serve para FUNÇÕES COMPOSTAS, e não para o seu produto.

por **Pessoa Estranha** » Dom Ago 25, 2013 19:38

Olá pessoal! Obrigada por terem respondido.

Estou estudando através de um livro de cálculo, e, nele, realmente está escrito que devemos aplicar a regra da cadeia em derivadas de funções compostas, porém, há uma parte que diz o seguinte:

"Sendo $y={u}^{2}$ com u=u(x)

derivável, resulta $\frac{dy}{dx}=2u\frac{du}{dx}$ . Por outro lado, $y={u}^{2}\Rightarrow \frac{dy}{du}=\frac{d}{du}[{u}^{2}]=2u$ . Assim, $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}$ onde $\frac{dy}{du}$ deve ser calculado em u = u(x)

. Provaremos mais adiante que esta regra, conhecida como regra da cadeia, é válida sempre que y = y(u)

e

forem deriváveis".

Na última frase, realmente está claro que trata-se de funções compostas, mas no início eu entendi que a regra da cadeia poderia ser usada em casos como:

"Seja $y={u}^{2}$ com u=u(x)

função derivável. Verifique que $\frac{dy}{dx}=2u\frac{du}{dx}$ ".

Este é, na verdade, bastante semelhante com o exercício que enviei aqui. Então pensei que pudesse ser assim, mas pelo visto fiz uma interpretação errada. O livro só confundiu-me!

Valeu pessoal! Obrigada pela ajuda!

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