[Derivada]derivada de função de raiz cúbica

por **armando** » Sáb Jul 20, 2013 15:22

Olá a todos.

Dada a função :

$f(x)=\sqrt[3]{\frac{3}{x^2}}$

Tenho dúvidas quanto à solução dada no livro de onde retirei a questão. Que é como se segue:

$f^,(x)=-\frac{2\sqrt[5]{3}}{5}\cdot x^{-\frac{7}{5}$

Tanto quanto sei a fórmula para a derivada de uma raiz é : $y^,=m\cdotu^{m-1}\cdot u^,$

ou, esta outra: $y^,=\frac{1}{k\sqrt[k]{u^{k-1}}}\cdot u^,$

A derivada do radicando,

$(\frac{3}{x^2})$ aplicando a fórmula de resolução do quociente dá $u^, =(-\frac{6}{x^3})$ . Aplicando no lugar correto da/s fórmula/s, e desenvolvendo qualquer uma delas na integra deveríamos chegar á solução dada. Facto que aliás não consegui.
A minha dúvida é a seguinte:__ Será que a solução está errada ? Ou me estão faltando alguns artifícios matemáticos para conseguir chegar a ela ?
Gostava que alguém resolvesse a questão na integra,até à simplificação máxima para verificação, e assim tirar minha dúvida.

Grato pela atenção
armando

por **MateusL** » Sáb Jul 20, 2013 15:49

Armando, apesar de ter ficado meio vago o seu pedido, acredito, pelo título deste tópico, que queres descobrir a derivada de f(x)

Basta notar que:

$\dfrac{d x^n}{dx}=n\cdot x^{n-1}$

E que f(x)

pode ser escrito como:

$f(x)=\sqrt[3]{3}\cdot x^\frac{-2}{3}$

Abraço!

por **armando** » Sáb Jul 20, 2013 16:44

Olá MateusL .

É possível que o meu pedido lhe parecesse meio vago no momento em que você o viu. Dado que logo no início,quando o estava iniciando me descuidei, e sem querer clikei em Enviar. Creio que foi esse o motivo.

por **MateusL** » Sáb Jul 20, 2013 17:01

Armando, não seria $f(x)=\sqrt[5]{\frac{3}{x^2}}$ ?

Porque só assim o resultado iria fechar.

Se for, basta notar que:

$f(x)=\sqrt[5]{3}\cdot x^{-\frac{2}{5}}$

E, como $\dfrac{dx^n}{dx}=n\cdot x^{n-1}$ :

$\dfrac{df(x)}{dx}=\dfrac{d(\sqrt[5]{3}\cdot x^{-\frac{2}{5}})}{dx}=\sqrt[5]{3}\cdot \dfrac{d x^{-\frac{2}{5}}}{dx}=\sqrt[5]{3}\cdot \dfrac{-2}{5}\cdot x^{-\frac{2}{5}-1}=-\dfrac{2\sqrt[5]{3}}{5}\cdot x^{-\frac{7}{5}}$

Qualquer dúvida, só perguntar!
Abraço!

por **armando** » Dom Jul 21, 2013 22:17

Olá Mateus.

De facto você tinha razão. Na verdade eu me enganei ao transcrever o enunciado aqui para o fórum. Efetivamente, como pude verificar com mais atenção no livro de onde o saquei, em vez de raiz cubica, está de facto raiz quinta. Assim, já consegui chegar à solução por uma das fórmulas que referi.
Obrigado por compartilhar a sua perspicácia, e me alertar para o meu erro.

Abraço !