Integral Múltipla - Conversão para Coordenadas Polares

por **nakagumahissao** » Sáb Jul 13, 2013 09:05

Questão: $\int_{1}^{\sqrt[2]{3}} \int_{1}^{x} dydx$

O que já fiz: Desenhei em coordenadas cartesianas o gráfico. No gráfico, é fácil de se ver que em 'x', as coordenadas variam de 1 à raiz de três. O mesmo acontece em 'y' pois y = x. Assim, obtive um triângulo retângulo e facilmente pude calcular que a área desejada era de:

$A = 2 - \sqrt[]{3}$

Calculando a integral:

$\int_{1}^{\sqrt[]{3}} \int_{1}^{x} dydx$

pelo modo convencional, também consegui o valor $A = 2 - \sqrt[]{3}$ . Porém, ao converter para coordenadas polares, não estou conseguindo obter o valor correto obtido pelas formas de cálculo anteriores. Meus parâmetros foram os seguintes:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{6}} \int_{\csc \theta}^{\sqrt[]{3} \csc \theta} dydx$

O que há de errado nos intervalos de integração? Alguém pode ajudar por favor?

por **young_jedi** » Sáb Jul 13, 2013 11:11

quando você muda para coordenadas polares a dxdy se torna $r.dr.d\theta$

portanto sua integral sera

$\int_{\pi/6}^{\pi/4}\int_{csc(\theta)}^{\sqrt3.csc(\theta)}r.dr.d\theta$

tente resolver e comente se tiver duvidas

por **nakagumahissao** » Dom Jul 14, 2013 07:52

young_jedi,

Obrigado pela resposta. Realmente me esqueci do r. Mas veja bem, se resolvermos a integral, a resposta não vai ser correta. Minha dúvida consiste em saber quais são os intervalos de integração corretos.

Grato

Sandro

por **young_jedi** » Dom Jul 14, 2013 11:03

Realmente tem um erro nos limites de integração amigo, obrigado por informar, na verdade o limite superior é secante:

$\int_{\pi/6}^{\pi/4}\int_{csc(\theta)}^{\sqrt3.sec(\theta)}r.dr.d\theta$

acredito que agora esta certo.

por **nakagumahissao** » Seg Jul 15, 2013 14:40

young_jedi,

Vou tentar resolver desta forma. Obrigado pela ajuda. Enquanto não resolvo, como chegou a conclusão que deveria ser secante ao invés de cossecante?

Grato

Sandro

por **young_jedi** » Seg Jul 15, 2013 19:37

tranquilo,

: area.png (2.58 KiB) Exibido 3445 vezes

analisando a figura, temos que a área de integração é o triangulo, se tomarmos um raio r temos que sua variação esta limitada dentro do triangulo pelos dois catetos

sendo que o r vai de

$r.sen(\theta)=1$

$r=\frac{1}{sen(\theta)}=csc(\theta)$

e vai ate

$r.cos(\theta)=\sqrt3$

$r=\frac{\sqrt3}{cos(\theta)}=\sqrt3.sec(\theta)$