Limite

por **Man Utd** » Sáb Jul 06, 2013 23:48

Calcule o limite abaixo(sem regra de L'Hospital):

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{senx-x}{x^3}$

por **e8group** » Dom Jul 07, 2013 12:32

Na minha opinião o resultado do limite segue do uso da continuidade no ponto

de cada função do denominador e numerador após calcular seus limites . Observe que para $x \neq 0$ vale a expressão que é equivalente a mesma postada:

$\frac{\dfrac{sin(x)- sin0}{x-0} -\dfrac{x- 0}{x-0} }{\dfrac{x^3 - 0}{x-0}}$ . Tomando o limite com $x\to 0$ e utilizando suas regras operatórias , obtemos:

$(i) \lim_{x\to 0} \dfrac{sin(x)- sin0}{x-0} -\dfrac{x- 0}{x-0} = cos(0) - 1$ que devido a continuidade de cos(x) - 1

no ponto

,segue $cos(0) - 1 = \lim_{x\to 0} cos(x) - 1 = \lim_{x\to 0} cos(x) - cos(0)$ .

$(ii) \lim_{x\to 0} \dfrac{x^3 - 0}{x-0}} = 0 = 3 \cdot 0^2 = 3 \lim_{x\to 0} x^2$ (Por quê ??)

Ora , por (i) , (ii)

vemos que $\lim_{x\to 0} \frac{\dfrac{sin(x)- sin0}{x-0} -\dfrac{x- 0}{x-0} }{\dfrac{x^3 - 0}{x-0}} = \frac{\lim_{x\to 0} cos(x) - cos(0)}{3 \lim_{x\to 0} x^2}$ .Muliplicando o denominador e numerador por x - 0

e seguindo o mesmo raciocínio utilizado nos itens acima , você obterá como resposta -1/6

.

Observações :

(a) No fundo estamos aplicando a regra de L'hospital ,só que não estamos utilizando as regras práticas de derivação(Isto não é verdade,pois usei elas ) .Se você já estudou derivadas certamente sabe que estou dizendo.

(b) Para adotar este método de solução ,seria importante mostrar todos cálculos que justifica as resposta nos itens (i) e (ii) para ficar claro que você apenas não aplicou as regras de derivação .

Limite

Limite

Limite

Re: Limite

Quem está online