[Derivadas] Derivadas em pontos dados

por **MarlonMO250** » Sex Mar 01, 2013 21:02

Olá, tenho uma lista e estava resolvendo um exercicio usando a seguinte definição: $f'(p)=\lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)-f(p)}{x-p}$

no caso são 3 questões no exercicio pra resolver com essa definição, uma delas eu consegui resolver, peço ajuda sómente pra saber se esta certo

a)

, e p=2
$f'(p)=\lim_{x\rightarrow p} \frac{2x^2-3x+4-2(2)^2+3(2)-4}{x-2}$
$f'(p)=\lim_{x\rightarrow p} \frac{2x^2-3x+4-8+6-4}{x-2}$
$f'(p)=\lim_{x\rightarrow p} \frac{2x^2-3x-2}{x-2}=\frac{2x^2-3x}{x}=\frac{x(2x-3)}{x}=2x-3$

nessa questão eu to em duvida se esta certo por isso espero que me respondam :y:

além dela também tem essa:

b) $f(x)=\frac{3}{x^2}$ , e p=1

e essa

c) $f(x)=\sqrt[3]{x}$ , e p=8

ambas eu não consegui resolver, agradeço a atenção de todos :-D

por **Russman** » Sex Mar 01, 2013 21:25

A definição de derivada que você está usando NÃO está errada. Porém, se você tomar x-p = h

então teremos uma definição expressa de forma mais simples que, certamente o ajudará.

Veja que, fazendo isso, obtemos

$f'(x) = \underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{f(x) - f(x-h)}{h}$ .

Assim, se f(x) = 2x^2-3x+4

, então

$f'(x) = \underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{2x^2-3x+4 - (2(x-h)^2 - 3(x-h)+4)}{h}$
$f'(x) = \underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{2x^2-3x+4 - 2x^2+4xh-h^2+3x-3h-4}{h}$

de onde, simplificando o que pode ser simplificado, obtemos

$f'(x) = \underset{h\rightarrow 0}{\lim }\frac{4xh-h^2-3h}{h}$ .

Efetuando a divisão por

o limite se torna

$f'(x) = \underset{h\rightarrow 0}{\lim }\left (4x-h-3 \right )$ ,

e , finalmente, tomando h=0

:

Para

:

Tente usar essa definição alternativa para resolver os outros casos!

por **felipeek** » Sex Mar 01, 2013 22:00

$f'(p)=\lim_{x\rightarrow p} \frac{2x^2-3x-2}{x-2}=\frac{2x^2-3x}{x}$

esse passo está errado! você não pode simplesmente 'cortar' os -2. O correto seria:

$f'(p)=\lim_{x\rightarrow p} \frac{2x^2-3x-2}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{(x-2)(2x+1)}{(x-2)}$

aí sim poderia cortar os (x-2)

abraços colega!

por **MarlonMO250** » Sex Mar 01, 2013 23:07

russman, essa definição que você falou eu conheço, o problema é que a professora pediu na lista usando essa que eu falei *-)

felipeek, no caso a derivada não ficaria 2x+1, sendo que é 4x-3 :?:

por **Russman** » Sáb Mar 02, 2013 01:14

Bom, se a tua professora insiste em ir pelo caminho mais difícil...e bem mais difícil, eu diria.

$f'(p) = \underset{x\rightarrow p }{\lim }\frac{f(x)-f(p)}{x-p}$

Substituindo a função, temos

$f'(p) = \underset{x\rightarrow p }{\lim }\frac{2x^2-3x+4-2p^2+3p-4}{x-p}$
$f'(p) = \underset{x\rightarrow p }{\lim }\frac{2(x^2-p^2)-3(x-p)}{x-p} = \underset{x\rightarrow p }{\lim }\left [2\frac{(x^2-p^2)}{x-p}-\frac{3(x-p)}{(x-p)} \right ]$

de onde, simplificando e tomando $\underset{x\rightarrow p }{\lim }\frac{(x^2-p^2)}{x-p}=2p$ ,

f'(p) = 2.2p -3 = 4p-3

.

Note que , em $\underset{x\rightarrow p }{\lim }\frac{(x^2-p^2)}{x-p}$ , basta você multiplicar o limite por (x+p)

no numerador e no denominador que você o resolve.

$\underset{x\rightarrow p }{\lim }\frac{(x^2-p^2)}{x-p} = \underset{x\rightarrow p }{\lim }\frac{(x^2-p^2)}{x-p}\frac{(x+p)}{(x+p)} = \underset{x\rightarrow p }{\lim }\frac{(x^2-p^2)}{(x^2-p^2)}(x+p) = \underset{x\rightarrow p }{\lim }(x+p) = 2p$

Eu acredito que essa definição induza o aluno a utilizar técnicas de resolução de limite que não lhe cabe para derivar uma simples função polinomial.

por **felipeek** » Sáb Mar 02, 2013 02:55

MarlonMO250 escreveu:russman, essa definição que você falou eu conheço, o problema é que a professora pediu na lista usando essa que eu falei

felipeek, no caso a derivada não ficaria 2x+1, sendo que é 4x-3

Você está fazendo confusão.

A derivada da função que você deu é sim 4x-3.

Note, entretanto, que você tentou resolver o exercício tomando p=2. No momento que você faz isso, você substitui todas as variáveis p da definição por 2 e x que tendia a p passa a tender a 2 (esse último você esqueceu de modificar ali no limite). O fato de você escolher um valor para a variável p faz você obter como o resultado não uma Função Derivada geral (que seria 4x-3) e sim o RESULTADO da derivada no ponto que você escolheu (no caso p=2). Se você quisesse obter como resultado 4x-3, você deveria ter calculado o limite sem assumir um valor para p. Aí sim, o resultado seria uma função derivada geral 4x-3 (no caso seria 4p-3) e aí sim você poderia substituir o x por 2 na função, obtendo a derivada no ponto x=2 que seria 5 (4*2-3 = 5).

O meu cálculo deu 2x+1 como resultado porque eu não terminei. Como x tendia a 2, o passo final seria substiuir o x por 2, obtendo como reposta final: 2(2)+1 = 5 . Ou seja, cinco é a derivada de x=2, ou ainda, 5 é a inclinação da reta tangente quando x=2. Obtemos direto o resultado de 5, sem obter a função derivada primeiro, pois assumimos direto p=2 no começo do exercicio (pensei que era assim que vc queria, pois foi vc mesmo que fez assim, na verdade, talvez seja isso mesmo que o exercicio quer)

por **Russman** » Sáb Mar 02, 2013 03:42

Acredito que o amigo felipeek tenha razão! Você tem de substituir imediatamente o valor de

no limite. Do contrário, como eu mostrei, você terá de utilizar técnicas de resolução de limite desnecessárias nessa etapa do conteúdo.

É bem verdade que, para f(x) = 2x^2-3x+4