Otimização

por **Jhonata** » Seg Fev 25, 2013 19:24

Um peso deve ficar suspenso a 4m de uma superfície horizontal por meio de uma armação de arame em forma de Y , como na figura abaixo (onde os pontos A, B e P são os vértices de um triângulo isósceles). Se os pontos de sustentação A e B distam $2 \sqrt3$ m, determine o comprimento mínimo de arame necessário para a armação. Imagem

Como estou fazendo: x = PC (C é o ponto no topo da caixinha da figura). Então DC = 4 - x (PD é a reta que corta o triângulo em dois lados iguais).

Por pitágoras: AP = BP = $\sqrt[]{3+(4-x)^2}$

O comprimento do arame é: AP + BP + PC.

Então tenho a função comprimento: $L(x) = x + 2\sqrt3+(4-x)^2$

Derivei essa função aí pela regra da cadeia e obtive: $L'(x) = 1 + \frac{2x-8}{(\sqrt[]{x^2-8x+19})}$

Tentei achar os pontos críticos, mas acho que me perdi a partir daí, pois da forma que prossigo não bate o gabarito. Como devo prosseguir? Desde já grato.

por **Russman** » Seg Fev 25, 2013 20:28

O comprimento do arame é dado por

$L = \overline{AP} +\overline{PB} + (4 - \overline{PC})$ .

Como $\overline{AP} = \overline{PB}$ tomemos $\overline{AP} = \overline{PB} = x$ e $\overline{PC} = h$ , de forma que

L = 2x + 4 - h

.

Observando o triângulo retângulo concluímos que x^2 = h^2 + 3

, de forma que $h = \sqrt{x^2 - 3}$ .

Assim, podemos construir a função L(x)

que é dada por

$L(x) = 4 + 2x - \sqrt{x^2 - 3}$ .

Para extremiza-la precisamos derivá-la com relação a seu argumento e calcular para qual o mesmo zera a derivada.

Tente fazer isso. Você deve calcular x = 2

o qual

.

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