OSCM - Números naturais

por **anfran1** » Dom Ago 19, 2012 15:28

Fiz hoje a prova e tinha um exercício que eu não consegui resolver. Se alguém souber por favor me explique.
Prove que ${1}^{3}+{2}^{3}+...+{n}^{3}={(1+2+...+n)}^{2}$ para qualquer número natural.

por **MarceloFantini** » Dom Ago 19, 2012 17:31

Você já aprendeu sobre o Princípio da Indução Finita? Isto resolve a questão. Se souber, é simples, se não veja e conseguirá resolver.

por **anfran1** » Dom Ago 19, 2012 17:39

Sim eu tenho que colocar o K+1 e ver se é verdadeira.

por **anfran1** » Seg Ago 20, 2012 20:24

O que eu faço depois de: ${1}^{3}+{2}^{3}+...+{k}^{3}+{(k+1)}^{3}={(1+2+...+k)}^{2}+{(k+1)}^{3}$ ?

por **MarceloFantini** » Seg Ago 20, 2012 21:01

Você tem que expandir $(1+ \cdots + k)^2 + (k+1)^3$ e chegar em $(1+ \cdots + k + (k+1))^2$ .

por **anfran1** » Ter Ago 21, 2012 13:38

MarceloFantini escreveu:Você tem que expandir $(1+ \cdots + k)^2 + (k+1)^3$ e chegar em $(1+ \cdots + k + (k+1))^2$ .

Isso eu sei mas não consigo chegar na equação.

por **anfran1** » Dom Ago 26, 2012 10:17

Por favor eu já expandi mas não consigo chegar em ${(1+...+k+(k+1))}^{2}$ . O que está me complicando é essa parte das reticências. Alguém poderia me ajudar?

por **anfran1** » Qui Ago 30, 2012 20:45

Essa questão já está me incomodando um pouco. Como faço para expandir ${(1+2+...+k)}^{2}+{(k+1)}^{3}$ para chegar em ${(1+2+...+k+(k+1))}^{2}$ ?

por **fraol** » Qui Ago 30, 2012 22:10

Boa noite,

Sabendo que 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2

( a soma dos k termos de uma PA com a_1 = 1

e razão

),

Tem-se então que (1 + 2 + 3 + ... + k)^2 + (k+1)^3 = (k(k+1)/2)^2 + (k+1)^3

Agora vamos desenvolver:

$(k(k+1)/2)^2 + (k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4}$

= $\frac{(k+1)^2(k^2 + 4(k +1))}{4}$

= $\frac{(k+1)^2(k^2 + 4k + 4))}{4}$

= $\frac{(k+1)^2(k + 2)^2}{4}$

= $\left[ \frac{(k+1)(k + 2)}{2}\right]^2$

(que é o quadrado da soma dos (k+1)