Cálculo 1 - Derivada

por **ludimila1 nobre** » Sáb Abr 21, 2012 20:43

Encontrei um resultado mas não tenho certeza que está certo. Alguém pode me ajudar? O problema é o seguinte:
Para quais valores de a e b, a reta 2x + y = b

é tangente à parábola $y = a{x}^{2}$ quando x = 2

?

por **Russman** » Sáb Abr 21, 2012 21:13

ludimila1 nobre escreveu:Encontrei um resultado mas não tenho certeza que está certo. Alguém pode me ajudar? O problema é o seguinte:
Para quais valores de a e b, a reta é tangente à parábola $y = a{x}^{2}$ quando ?

Seja

a reta tangente a curva f(x)

no ponto $P(f(\epsilon),\epsilon)$ . Então,

$g(x) = f'(\epsilon)(x-\epsilon)+f(\epsilon)$ .

Assim,

$f'(\epsilon) = -2$
$f(\epsilon) - \epsilon .f'(\epsilon) = b$ .

Da primeira, $f(x) = a{x}^{2} \Rightarrow f'(x) = 2ax\Rightarrow f'(x=\epsilon) = 2a\epsilon = -2 \therefore a= \frac{-1}{\epsilon}=\frac{-1}{2} , \epsilon=2$ .

Da segunda, $f(\epsilon) - \epsilon.f'(\epsilon) = b \Rightarrow 4a - 2.2.a.2 = b \therefore b = 2 , a = \frac{-1}{2}.$

Portanto a função é $f(x) = \frac{-{x}^{2}}{2}$ e a reta tangente em x=2

é

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