[limites no infinito] a resolução está correta?

por **Fabio Wanderley** » Dom Abr 01, 2012 03:20

Minha dúvida está em dois limites:

1) $\lim_{x \to +\infty}\left[x - \sqrt[]{x^2 + 1} \right]$

$\lim_{x \to +\infty}x - \sqrt[]{x^2 + 1}. \frac{x + \sqrt[]{x^2 + 1}}{x + \sqrt[]{x^2 + 1}}$

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2 - (x^2 + 1)}{x + \sqrt[]{x^2 + 1}}$

$\lim_{x \to +\infty}\frac{-1}{x + \sqrt[]{x^2 + 1}}$

$\frac{-1}{+\infty + (+\infty)} = 0$
Esta resolução é válida? Mais precisamente as operações com o símbolo "infinito"...

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2) $\lim_{x \to +\infty}\left[\sqrt[]{x + 1} - \sqrt[]{x + 3} \right]$

$\lim_{x \to +\infty}\left[\sqrt[]{x + 1} - \sqrt[]{x + 3} \right].\frac{\left[\sqrt[]{x + 1} + \sqrt[]{x + 3} \right]}{\left[\sqrt[]{x + 1} + \sqrt[]{x + 3} \right]}$

$\lim_{x \to +\infty}\frac{x + 1 - x - 3}{\sqrt[]{x+1}+\sqrt[]{x+3}}$

$\lim_{x \to +\infty}\frac{-2}{\sqrt[]{x+1}+\sqrt[]{x+3}}$

$\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{\sqrt[]{x}}.\frac{-2}{\sqrt[]{1 + \frac{1}{x}}+\sqrt[]{1+\frac{3}{x}}}$
Que propriedade, envolvendo os radicandos, foi usada na linha acima?

Desde já agradeço!

por **MarceloFantini** » Dom Abr 01, 2012 03:36

No primeiro, o correto seria ir do limite diretamente a zero. São símbolos sem sentido dizer que $\frac{-1}{+ \infty + (+\infty} = 0$ . No segundo, ele apenas colocou o número x em evidência, veja: $\sqrt{x+1} = \sqrt{x\left(1 + \frac{1}{x}\right)} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{\left(1+ \frac{1}{x}\right)}$ .