Indução Finita - Elementos da sequência

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Indução Finita - Elementos da sequência

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Indução Finita - Elementos da sequência

Mensagempor Cleyson007 » Qui Mar 22, 2012 14:57

Boa tarde a todos!

Prove que todos os elementos da sequência 12, 102, 1002, 10002, ... são divisíveis por 6.

Obs.: Utilize o Princípio da Indução Finita.

Agradeço se alguém puder me ajudar.

Até mais.
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Re: Indução Finita - Elementos da sequência

Mensagempor fraol » Qui Mar 22, 2012 19:12

A sequência, então, é assim:

10^1 + 2,
10^2 + 2,
10^3 + 2, ...,
10^k + 2, ...,
10^n + 2, ....

O primeiro termo, 12, é divisível por 6.

A hipótese é de que 10^n + 2 é divisível por 6, isto é, 10^n+2 = 6p ( p um número natural).

Isso ajuda?
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Re: Indução Finita - Elementos da sequência

Mensagempor Cleyson007 » Qui Mar 22, 2012 22:57

Boa noite Fraol!

E como fica a condição de (n+1), não devemos prová-la?

Fico aguardando.

Até mais.
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Re: Indução Finita - Elementos da sequência

Mensagempor fraol » Qui Mar 22, 2012 23:26

Boa noite Cleyson007,

Sim.

Um caminho possível seria esse: Assumir que 10^{n+1} + 2 é, também, múltiplo de 6, isto é:

10^{n+1}+2 = 6q, então 10.10^{n}+2 + 18 = 6q + 18 \iff 10.(10^{n}+2) = 6(q + 3).

Agora, como diria um grande professor aqui do forum, é só terminar o exercício.

Abraço.
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Re: Indução Finita - Elementos da sequência

Mensagempor MarceloFantini » Sex Mar 23, 2012 07:50

Fraol, você fez do modo errado. Sabendo que 10^n + 2 = 6q, então 10 \cdot (10^n +2) = 6q = 10^{n+1} +20 = 6k = 10^{n+1} + 2 + 18 = 6k. Daí 10^{n+1} +2 = 6k - 18 = 6t, logo múltiplo de 6.
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Re: Indução Finita - Elementos da sequência

Mensagempor fraol » Seg Mar 26, 2012 19:55

Desculpem a demora,

MarceloFantini, por favor, você quis dizer que eu não parti da hipótese para mostrar a tese, é isso?
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Re: Indução Finita - Elementos da sequência

Mensagempor MarceloFantini » Ter Mar 27, 2012 08:35

Sim, você partiu da tese. Ao afirmar que 10^{n+1} +2 = 6q você está dizendo que a tese é verdadeira.
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Re: Indução Finita - Elementos da sequência

Mensagempor fraol » Ter Mar 27, 2012 10:25

Ok. Grato.
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D

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