Estou com problemas nos exercicios que estão em branco, peço por gentileza que me ajudem respondendo e orientando como chegar no resultado com a resolução do problema.
1) Calcule a amplitude total dos conjuntos de dados:
(Pegar o maior numero e subtrair pelo menor numero)
a) 20, 14, 15, 19, 21, 22, 20, 22, 14, 18, 21
AT= 22 - 14
AT= 08
b) 17,9; 22,5; 13,3; 16,8; 15,4; 14,2; 16,5; 9,7
AT= (+17,9) – (-22,5)
AT= 4,6
c) 1, -3, 5, -7, 9, -11, 13, -15, 17
AT= (+17) – (-15)
AT= -2
d) -10, -6, 2, 3, 7, 9, 10
AT= (+10) – (-10)
AT= 0
e) 0,301; 0,123; 0,295; 0,0456; 0,5019
AT= 0,5019 – 0,0456
AT= 0,4563
2) Os graus de um estudante nas disciplinas de biologia, física e química de um curso de ciências foram 70,5; 77,3 e 86,7, respectivamente. (a) Se os pesos atribuídos a esses graus são 6, 7 e 8, respectivamente, qual é a variância apropriada? (b) Qual seria a variância se fossem adotados pesos iguais?
3) Calcular a amplitude total, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação dos dados da tabela 1.
Classe Freqüência
10,5 |--- 15,5 13
15,5 |--- 20,5 17
20,5 |--- 25,5 16
25,5 |--- 30,5 12
30,5 |--- 35,5 19
35,5 |--- 40,5 15
40,5 |--- 45,5 21
Tabela 1
4) Determinar os coeficientes de variação dos conjuntos de números: (a) 5, 4, 8, 2, 7, 6, 9 e (b) 18.3, 20.6, 19.3, 22.0, 20.4, 18.8, 19.7, 20.0.
5) A tabela 3 apresenta uma distribuição de freqüência das notas de um exame final de álgebra. Determinar a amplitude total, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação.
Nota Número de Estudantes
3,0 1
4,5 2
5,8 1
6,3 21
7,0 13
8,5 7
9,9 5
Tabela 2
6) Utilizando a tabela 3, determinar o tipo de assimetria e o coeficiente de assimetria.
Classe Freqüência
19,3 |--- 19,8 1
19,8 |--- 20,3 6
20,3 |--- 20,8 13
20,8 |--- 21,3 17
21,3 |--- 21,8 16
21,8 |--- 22,3 14
22,3 |--- 22,8 6
22,8 |--- 23,3 1
Tabela 3
7) Determinar o tipo de assimetria e o coeficiente de assimetria dos dados da tabela 4.
Xi Freqüência
15 3
20 7
25 16
30 12
35 9
40 5
45 2
Tabela 4
8) Em uma distribuição de freqüência foram encontradas as seguintes medidas:
Média = 33,18 Moda = 27,50
Mediana = 31,67 Desvio Padrão = 12,45
a) Classifique o tipo de assimetria. Curva assimétrica positiva
b) Calcule o coeficiente de assimetria. 0,36
9) Em uma distribuição de freqüência foram encontradas as seguintes medidas:
1º Quartil = 28,8 3º Quartil = 45,6
10º Percentil = 20,5 90º Percentil = 49,8
a) Calcule os graus de curtose.
b) Classifique a distribuição em relação à curva normal.
10) Considere as seguintes medidas da tabela 5, relativas a 5 distribuições de freqüência:
Distribuições 1º Quartil 3º Quartil 10º Percentil 90º Percentil
A 819 940 777 1.017
B 60,7 77,3 52,0 83,6
C 23,4 40,2 19,2 48,5
D 128,8 145,6 120,5 149,8
E 652,9 757,3 623,7 832,1
Tabela 5
a) Calcule os respectivos graus de curtose.
b) Classifique cada uma das distribuições em relação à curva normal.
11) Determinar a probabilidade, para cada um dos seguintes eventos:
a) De aparecer um número ímpar em um único lance de um dado honesto;
De 6 casos igualmente prováveis, 3 (quando o dado apresentar 1, 3 ou 5) são favoráveis ao evento. Então p = 3/6 = 1/2 =50% de chances.
b) De ocorrer pelo menos uma cara em dois lances de uma moeda honesta;
Se H representa "cara" e T "coroa", os dois lances podem conduzir-nos a 4 casos a saber: HH; HT; TH; TT, todos igualmente prováveis. Apenas os três primeiros casos são favoráveis ao evento. Então, p= 3/4 = 75% de chances.
c) De surgir um ás, um dez de ouro ou um dois de espada na retirada de uma carta de um baralho de 52 cartas;
O evento pode ocorrer de 6 modos(ás de espadas, ás de copa,ás de paus,ás de ouro,dez de ouros e dois de espadas), em 52 casos igualmente possíveis. Então, p = 6/52 =11,5% de chances.
d) De aparecer o total 7 em um único lançamento de dois dados.
Cada uma das faces de um dado pode ser associada às 6 do outro, de modo que o número total de casos que pode surgir, todos igualmente prováveis, é: 6x6 =36. Eles podem ser representados por (1,1);(2,1);(3,1);...(6,6). Há 6 modos de obter-se o total 7, representados por (1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2),(6,1). Então, p = 6/36 = 1/6 =16,66% de chances.
12) Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 bolas vermelhas, 4 bolas brancas e 5 bolas azuis. Determinar a probabilidade dela: (a) ser vermelha; (b) ser branca; (c) ser azul; (d) não ser vermelha; (e) ser vermelha ou branca.
Admita-se que V,B,A representam os eventos da retirada de um bola vermelha, de uma branca, e de uma azul, respectivamente. Então:
(a) Pr{V} = {modos de escolher uma bola vermelha} /{ total de modos de escolher uma bola} ={6} /{6+4+5} = 6 /15 = 2 / 5 = 0,4 = 40% de chance.
(b) Pr{B} = {4} / {6 + 4 + 5} = 4 / 15 = 26,66% chance
(c) Pr{A} = {5} /{ 6+4+5 }= 5 / 15 =1 / 3 = 0,3333 =33,33% chance.
(d) Pr{ Vc } = 1 - Pr { V } = 1 - 0,4 = 0,6 = 60% de chance.
(e) Pr{A + B} = { Modos de escolher uma bola vermelha ou banca} / {Total de modos de escolher uma bola} = {6 + 4} / { 6+4+5} = 10 / 15 = 2 / 3 = 0,6666=66,66% de chance
13) Um dado honesto é lançado duas vezes. Determinar a probabilidade de ocorrer 4, 5 ou 6 no primeiro lance e um 1, 2, 3 ou 4 no segundo lance.
Seja E1 = O evento correspondente a " 4,5 ou 6", no primeiro lance, e E2 = o de surgir "1,2,3 ou 4" no segundo.
Cada uma das 6 maneiras, segundo as quais o dado pode cair no primeiro lance, pode ser associada a cada uma das 6 do segundo lance, num total de 6x6 = 36 modos, todos igualmente possíveis. Cada uma das três maneiras, segundo as quais E1 pode ocorrer, pode ser associada a cada uma das quatro de E2 , o que dá 3x4 = 12 modos, segundo os quais ocorre tanto E1 e E2 .
Então : Pr{E1E2} = 12/36 =1/3 =33,33% chance.
14) Duas cartas são retiradas de um baralho, bem embaralhado, de 52 cartas. Determinar a probabilidade de ambas serem ases, se a primeira carta for: (a) recolocada; (b) não recolocada.
Seja E1=o evento correspondente a sair um ás na primeira retirada e E2 =o de ocorrer um ás na segunda.
(a) Se a primeira carta for recolocada, E1 e E2 serão eventos independentes. Então: Pr{ambas as cartas retiradas serem ases}=Pr{E1 E2 }=Pr {E1}.Pr{E2}=(4/52).(4/52)=1/169 = 0,59% de chance.
(b) A primeira carta pode ser retirada de qualquer uma das 52 maneiras e a segunda de qualquer um de 51 modos, se a primeira não for recolocada. Então, ambas as cartas podem ser retiradas de 52x51 maneiras, todas igualmente possíveis.
Há 4 modos segundo os quais E1 pode ocorrer e 3 maneiras para que E2 aconteça; assim, tanto E1 e E2 podem ocorrer de 4x3 modos. Então,
Pr{E1 E2 }=(4/52).(3/51)=1/221 =0,45% de chance.
Note-se que Pr{E1/E2} = Pr{da segunda carta ser um ás depois de ocorrer um outro na primeira} = 3/51. Nessas condições, o resultado é um exemplo da regra geral Pr ={E1E2}=Pr{E1}. Pr{E1/E2} quando E1 e E2 são eventos independentes.
15) Três bolas são retiradas, sucessivamente, da urna do problema 12. Determinar a probabilidade delas serem retiradas na ordem vermelha, branca e azul, quando cada bola for: (a) recolocada; (b) não recolocada.
Seja V= o evento de uma bola "vermelha" na primeira extração; B=ocorrência de uma "branca" na segunda e A =o aparecimento de uma "azul" na terceira. Pede-se Pr{VBA}.
(a) Se cada bola é recolocada V,B,A são eventos independentes e:
Pr{VBA}= Pr{V}. Pr{B}. Pr{A}= (6/(6+4+5)).(4/(6+4+5)).(5/(6+4+5))=
=(6/15).(4/15).(5/15)=8/225=3,56% de chance.
(b) Se a bola não é recolocada V,B e A são eventos dependentes e:
Pr{VBA}= Pr{V}. Pr{B/V}. Pr{A/VB}=(6/(6+4+5)).(4/(5+4+5)).(5/(5+3+5))=(6/15).(4/14).(5/13)=
= 4/91=4,40% de chance. Em que a Pr{A/VB} é a probabilidade de ser obtida uma bola azul depois de uma branca e um vermelha terem sido extraídas.
16) Determinar a probabilidade de aparecer um 4, pelo menos uma vez, em dois lances de um dado honesto.
Solução: Seja E1=evento "4" no primeiro lance e E2 = evento "4" no segundo lance,
E1+ E2 = evento "4" no primeiro lance ou "4" no lance, ou ambos.=evento de, pelo menos, um"4" em um dos lances. Deseja-se então: Pr{ E1+ E2}.
Número total de modos igualmente possíveis, segundo os quais ambos os dados podem cair = 6x6 = 36.
Também: número de modos de ocorrência de E1 ,mas não de E2 =5, número de modos de ocorrência de E2 , mas não de E1 =5, números de modos de ocorrerem E1 e E2 , simultaneamente =1.
Então, o número de modos segundo segundo os quais pelo menos um dos eventos E1 ou E2 pode ocorrer = 5+5+1=11, e Pr{ E1+ E2}= 11/36 = 30,56% de chance.
17) Uma bolsa contém 4 bolas brancas e 2 bolas pretas; outra contém 3 bolas brancas e 5 pretas. Se for retirada uma bola de cada bolsa, determinar a probabilidade de: (a) ambas serem brancas; (b) ambas serem pretas; (c) uma ser branca e a outra ser preta.
[color=#FF0000]Sejam
B1 = ocorrência de uma bola "branca" na primeira bolsa.
B2 = ocorrência de uma bola "branca" na segunda bolsa.
(a) Pr{B1B2}=Pr{B1}.Pr{ B2}=(4/4+2).(3/3+5)=1/4 = 25% de chance.
(b) Pr{B1cB2c}=Pr{B1C}.Pr{ B2C}=(2/4+2).(5/3+5)=5/25 = 20% de chance.
(c)A probabilidade é:
1 - Pr{B1B2} - Pr{B1cB2c} = 1-(1/4) - (5/24) = 13/24 = 54,17% de chance.
[/color]18) A e B jogam 12 partidas de xadrez, das quais 6 são vencidas por A, 4 por B e 2 terminam empatadas. Eles combinam a disputa de um torneio de três partidas constante. Determinar a probabilidade de: (a) A vencer as três partidas; (b) duas partidas terminarem empatadas; (c) A e B vencerem alternadamente; (d) B vencer pelo menos uma partida.
Representemos por A1,A2 e A3 os eventos correspondentes a "A vencer" os 1º, 2º e 3º jogos, respectivamente.
Representemos por B1,B2 e B3 os eventos correspondentes a "B vencer" os 1º, 2º e 3º jogos, respectivamente.
Representemos por T1,T2 e T3 os eventos correspondentes a "empate" nas 1, 2ª e 3ª partidas respectivamente.
Com base na experiência anterior ( probabilidade empírica), poder - se - á admitir que:
Pr {A vencer qualquer uma partida}= 6/12=1/2=50%.
Pr {B vencer qualquer uma partida}=4/12=1/3=33,33%.
Pr {qualquer partida terminar empatada}=2/12=1/6=16,67%.
(a) Pr {A vencer todas as 3 partidas}=Pr {A1 A2 A3} = Pr{A1}.Pr{A2}.Pr{A3}=(1/2).(1/2).(1/2)=1/8=12,5%. Admitindo-se que o resultado de cada partida é independente de qualquer outro, o que parece justificável ( a menos que os jogadores, naturalmente, se influenciem psicologicamente por suas outras vitórias ou derrotas).
(b) Pr {2 partidas terminarem empatadas}=Pr {1ª e 2ª ou 1ª e 3ª ou 2ª e 3ª partidas terminarem empatadas}=
= Pr {T1T2T3c} + Pr {T1T2cT3} + Pr {T1cT2T3} = Pr {T1}.Pr {T2}.Pr {T3c} + Pr {T1}.Pr {T2c}.Pr {T3} + Pr {T1c}.
.Pr {T2}.Pr {T3}=(1/6).(1/6.(5/6)+(1/6).(5/6).(1/6)+(5/6).(1/6).(1/6) = 15/216=5/72 = 6,94% Chance.
(c) Pr{A e B vencerem alternadamente}=Pr{ocorrem as vitórias na ordem A,B,A ou B,A,B}=
=Pr{A1B2A3+B1A2B3}=Pr{A1B2A3} + Pr{B1A2B3}=(1/2).(1/3).(1/2)+(1/3).(1/2).(1/3)=5/36=13,89% de chance.
(d) Pr{B vencer pelo menos uma partida}=1 - Pr{B não vencer nenhuma partida}=
= 1 - Pr{B1CB2cB3c} = 1 - Pr{B1c}.Pr{B2c}.Pr{B3c}= 1 - (2/3).(2/3).(2/3) = 19/27 =70,37% chance.
19) Considerando que 70% dos docentes da Universidade Atual trabalham em empresas privadas, a probabilidade de que, selecionados cinco docentes ao acaso, no máximo dois trabalhem em empresas privadas é aproximadamente igual a:
20) Uma empresa de consultoria em Engenharia informa que o lucro médio é de R$ 8.500,00 com desvio-padrão de R$ 1.000,00. Com base nessas informações, e sabendo que a variável lucro apresenta distribuição normal, qual é a probabilidade de o lucro ser menor que R$ 8.000,00?
21) Aproximadamente 30% dos correntistas de um banco privado encontram-se inadimplentes em relação ao pagamento do cartão de crédito. Tendo comparecido à agência cinco correntistas, qual é a probabilidade de que, pelo menos dois estejam inadimplentes em relação ao pagamento do cartão de crédito?
22) Os balanços semanais realizados em uma empresa mostraram que o lucro realizado se distribui normalmente com média de R$ 48.000 e desvio-padrão de R$ 8.000. Qual é a probabilidade de que o lucro esteja entre R$ 40.000 e R$ 45.000?
Como estamos usando distribuição normal(z), lembre-se de utilizar a tabela da distribuição.
média 48.000
desvio padrão 8.000
40.000<x<45.000
lá vai, calculando z1 e z2:
z1 = (40.000 - 48.000) / 8.000 = - 1,00 (usa-se assim pois na distr. normal usa-se duas casas após a virgula).
z2 = (45.000 - 48.000) / 8.000 = - 0,37
Calculando a Probabilidade (P):
P(40.000<x<45.000)
= P( - 1,00<z< - 0,37) (procure esses valores na tabela de distribuição normal)
= 0,3557 - 0,1587 ( após encontrar os valores na tabela, ordene do maior pra o menor p/ fazer a subtração, pois não existem lucro e probabilidades negativas...)
= 0,19
23) A empresa Squadrus, fabricante de implementos agrícolas, realizou um levantamento do custo total de um dos seus produtos (Y), expresso em R$ 1.000,00, em função do número total de peças produzidas (X), expresso em unidades, durante cinco meses, com o objetivo de montar uma regressão linear simples entre essas variáveis, obtendo os somatórios:
?X = 440 ?Y = 120 ?XY = 12.300 ?X2 = 49.450 ?Y2 = 3.200
com n = 5.
Nessas condições pede-se:
a) a reta que melhor se ajuste a esses dados;
b) o valor do coeficiente de correlação linear;
c) o valor mais provável dos custos fixos;
d) o valor estimado do custo variável para uma produção de 500 unidades;
e) admitindo-se um preço de venda de R$ 3.000,00, por unidade, estimar a quantidade mínima que se deve produzir para se obter um lucro de R$ 80.000,00.
