Derivada

por **alex_2000** » Sex Fev 17, 2012 12:56

A potencia instantanea recebida por um capacitor é

p(t)=v(t).i(t)

.......(1)

e $i(t)=C.\frac{d(v(t))}{dt}$ .......(2)

C é uma constante (Capacitância), substituindo (2) em (1)

$p(t)=v(t).C\frac{d(v(t))}{dt}$ .......(3)

e, finalmente,

$p(t)=\frac{1}{2}.C.\frac{d{v}^{2}(t)}{dt}$ .......(4)

Como é o desenvolvimento da passagem de (3) para (4)?

Aguardo retorno. Obrigado.

por **MarceloFantini** » Sex Fev 17, 2012 13:51

Isto não faz sentido. Não é verdade que $y \cdot y' = \frac{y''}{2}$ . É possível mostrar o trecho todo? O enunciado, caso tenha.

por **alex_2000** » Sex Fev 17, 2012 18:01

Isto é uma demonstração da fórmula da potência encontrada no livro Curso de Circuitos Elétricos, 2 ed, v.1, 2002, Edgard Blucher, p.12.
Não encontrei nada parecido em outras literaturas, por isso a minha dúvida.

por **LuizAquino** » Sex Fev 17, 2012 19:00

alex_2000 escreveu: $p(t)=v(t).C\frac{d(v(t))}{dt}$ .......(3)

e, finalmente,

p(t)= $\frac{1}{2}.C.\frac{d{v}^{2}(t)}{dt}$ .......(4)

Como é o desenvolvimento da passagem de (3) para (4)?

Note que:

$\frac{1}{2}C\frac{d\, v^2(t)}{dt} = \frac{1}{2}C\frac{d\, v(t)v(t)}{dt}$

$= \frac{1}{2}C\left(\frac{d\, v(t)}{dt}v(t) + v(t)\frac{d\, v(t)}{dt}\right)$

$= \frac{1}{2}C\left(2v(t)\frac{d\, v(t)}{dt}\right)$

$= Cv(t)\frac{d\, v(t)}{dt}\right)$

por **alex_2000** » Sáb Fev 18, 2012 17:50

Qual foi o teorema matemático que você usou da passagem de 2 para 3?
Obrigado.

por **LuizAquino** » Sáb Fev 18, 2012 17:58

alex_2000 escreveu:Qual foi o teorema matemático que você usou da passagem de 2 para 3?

Eu presumo que você esteja se referindo da passagem de $\frac{1}{2}C\frac{d\, v(t)v(t)}{dt}$ para $\frac{1}{2}C\left(\frac{d\, v(t)}{dt}v(t) + v(t)\frac{d\, v(t)}{dt}\right)$ .

Note que eu apenas utilizei a regra do produto para as derivadas.

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