[Logaritmos]

por **Ana_Rodrigues** » Ter Jan 24, 2012 23:42

Nesta questão deve-se resolver a equação em função de x

Teve uma equação que eu não consegui resolver sem antes ter olhado a resposta no gabarito e te-la desmontado de trás para frente

lnx +ln(x-1)=1

Resposta

$\frac{1}{2}\left(1+\sqrt[]{1+4e} \right)$

A minha equação só chegava até aqui

$e={x}^{2}-x$

Resolvendo a resposta de trás pra frente eu percebo que o primeiro passo foi multiplicar por 4 os membros da equação

$2x=1+\sqrt[]{1+4e}$
$2x-1=\sqrt[]{1+4e}$
${(2x-1)}^{2}=1+4e$
$4{x}^{2}-4x+1=1+4e$
$4{x}^{2}-4x=4e$
${x}^{2}-x=e$

Bom, quero saber porque esse foi o primeiro passo. Depois que a conta ta pronta eu vi lógica mas antes disso eu não entendi por que. Como saber disso. Alguém pode resolver esta questão explicando cada linha na ordem correta? Tipo tinha que achar algum número que multiplicado com a equação fosse possível formar o quadrado perfeito?

Agradeço desde já a quem me ajudar a entender!

por **ant_dii** » Qua Jan 25, 2012 02:28

Pra começar, lembre-se da propriedade de logaritmos, onde:

$\ln A+\ln B=\ln AB$

No seu caso,
$\ln x + \ln (x-1) = \ln [x(x-1)]=\ln(x^2-x)$

Como você esta tentando escrever para x temos que

$\ln x + \ln (x-1)=\ln(x^2-x)=1 \Rightarrow e^{\ln(x^2-x)}=e^1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x^2-x=e \Rightarrow x^2-x-e=0$

Resolvendo por Bhaskara, teremos

$x=\frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-e)}}{2}=\frac{1 \pm \sqrt{1+4e}}{2}$

Mas como não temos logaritmo natural de números negativos e $\sqrt{1+4e}>1$ , devemos somente considerar o valor positivo, ou seja,
$x=\frac{1+ \sqrt{1+4e}}{2}=\frac{1}{2}\left(1+ \sqrt{1+4e}\right)$

Espero ter ajudado... Té mais

por **Ana_Rodrigues** » Qua Jan 25, 2012 13:21

Nossa, era tão fácil, rsrs
enfim, muito obrigada!

[Logaritmos]

[Logaritmos]

[Logaritmos]

Re: [Logaritmos]

Re: [Logaritmos]

Quem está online