Dúvida de limite

por **Gabriel Doria** » Dom Dez 11, 2011 00:57

Não estou conseguindo entender a resolução deste seguinte problema se alguém conseguir resolve-lo integralmente seria muito grato.

Resolva pela definição de limite a seguinte expressão: $\lim_{x \to 2} x^3=8$
Não entendo a parte que ele faz $|x^3-8|=|x-2|\cdot |x^2+2x+4|$ e diz que |x-2|<1.

por **LuizAquino** » Dom Dez 11, 2011 15:56

Gabriel Doria escreveu:Não estou conseguindo entender a resolução deste seguinte problema se alguém conseguir resolve-lo integralmente seria muito grato.

Resolva pela definição de limite a seguinte expressão: $\lim_{x \to 2} x^3=8$
Não entendo a parte que ele faz $|x^3-8|=|x-2|\cdot |x^2+2x+4|$ e diz que |x-2|<1.

Note que x está tendendo a 2, isto é, $x\to 2$ . Isso significa que x é um número cada vez mais próximo de 2. Sendo assim, é razoável dizer, por exemplo, que a distância do número x até o número 2 é menor do que 1 unidade. Ora, mas isso é o mesmo que escrever |x-2|<1.

Note que também poderíamos dizer que a distância do número x até o número 2 é menor do que 1/2 da unidade. Ou seja, podemos escrever que |x-2|<1/2.

Ou ainda, poderíamos dizer que essa distância é menor do que 1/4 da unidade. Nesse caso, escreveríamos que |x-2|<1/4.

Em qualquer uma dessas situações temos o número x próximo de 2.

Esse raciocínio pode continuar e a escolha dessa distância pode ser conforme a conveniência. Por praticidade, vamos então tomar essa distância como sendo 1 unidade.

Continuando a resolução, para |x-2|<1 (que é o mesmo que 1 < x < 3), temos que 7 < x^2+2x+4 < 19

. Ou seja, podemos dizer nesse caso que $\left|x^2+2x+4\right| < 19$ .

Nesse contexto, temos que
$\left|x^3-8\right| = |x-2|\left|x^2+2x+4\right| < 19|x-2|$

Ainda nesse contexto, como devemos ter $\left|x^3-8\right| < \varepsilon$ , para um dado $\varepsilon > 0$ , basta tomar que $|x-2|<\frac{\varepsilon}{19}$ .

Note que até aqui fizemos duas restrições quanto a |x-2|:
(i)|x-2|< 1 ;
(ii) $|x-2|<\frac{\varepsilon}{19}$ .

Portanto, para todo $\varepsilon > 0$ , existe $\delta > 0$ , sendo que $\delta = \min \left\{1,\, \frac{\varepsilon}{19}\right\}$ , de tal modo que: $\left|x^3-8\right| < \varepsilon$ , sempre que $0< |x-2|<\delta$ .

Em outras palavras, temos que $\lim_{x \to 2} x^3=8$ .

por **Gabriel Doria** » Dom Dez 11, 2011 17:01

Para ser mais claro o que eu não estou entendendo irei grafar as passagens que não entendi :

Continuando a resolução, para |x-2|<1 (que é o mesmo que 1 < x < 3), temos que . Ou seja, podemos dizer nesse caso que $\left|x^2+2x+4\right| < 19$ .

Nesse contexto, temos que
$\left|x^3-8\right| = |x-2|\left|x^2+2x+4\right| < 19|x-2|$

Ainda nesse contexto, como devemos ter $\left|x^3-8\right| < \varepsilon$ , para um dado $\varepsilon > 0$ , basta tomar que $|x-2|<\frac{\varepsilon}{19}$ .

Note que até aqui fizemos duas restrições quanto a |x-2|:
(i)|x-2|< 1 ;
(ii) $|x-2|<\frac{\varepsilon}{19}$ .

Portanto, para todo $\varepsilon > 0$ , existe $\delta > 0$ , sendo que $\delta = \min \left\{1,\, \frac{\varepsilon}{19}\right\}$ , de tal modo que: $\left|x^3-8\right| < \varepsilon$ , sempre que $|x-2|<\delta$ .

Não entendi toda essa parte, principalmente o porque de quando você pois que " |x-2|<1 (que é o mesmo que 1 < x < 3), temos que 7 < x^2+2x+4 < 19

. Ou seja, podemos dizer nesse caso que $\left|x^2+2x+4\right| < 19$ " .
.

por **LuizAquino** » Seg Dez 12, 2011 17:43

Continuando a resolução, para |x-2|<1 (que é o mesmo que 1 < x < 3), temos que . Ou seja, podemos dizer nesse caso que $\left|x^2+2x+4\right| < 19$ .

Dos conhecimentos sobre inequação modular, temos que:
|x-2| < 1
-1 < x-2 < 1
1 < x < 3

Se você não entendeu essa parte, então eu recomendo que você faça uma revisão sobre inequações modulares.

Considerando a função polinomial do 2º grau f(x) = x^2 + 2x + 4

, temos que no intervalo [1, 3] ela é crescente (vido o gráfico abaixo). Sendo assim, temos que:
1 < x < 3
f(1) < f(x) < 3
7 < x^2 + 2x + 4 < 19

: gráfico.png (10.29 KiB) Exibido 1390 vezes

Note que no intervalo [7, 19] só temos números positivos. Sendo assim, temos que

$x^2 + 2x + 4 = \left|x^2 + 2x + 4\right| < 19$

Se você não entendeu essa parte, então eu recomendo que você faça uma revisão sobre a função polinomial do 2º grau.

Agora analise o resto da resolução e tente entender.