Calculo de Limite

por **joaofonseca** » Seg Nov 07, 2011 11:39

No sentido de encontrar o declive da função $f(x)=\frac{8}{\sqrt{4+3x}}$ no ponto (4,2), procedi desta forma:

$\lim_{x \mapsto 4}\frac{f(x)-f(4)}{x-4}$

Desenvolvendo:
$\lim_{x \mapsto 4} \frac{ \frac{8}{ \sqrt{4+3x}} - \frac{8}{ \sqrt{4+3 \cdot 4}}}{x-4}=$

$\lim_{x \mapsto 4} \frac{ \frac{8}{ \sqrt{4+3x}} - \frac{8}{ \sqrt{16}}}{x-4}=$

$\lim_{x \mapsto 4} \frac{ \frac{8}{ \sqrt{4+3x}} - \frac{8}{4}}{x-4}=$

$\lim_{x \mapsto 4} \frac{ \frac{8}{ \sqrt{4+3x}} - 2}{x-4}=$

$\lim_{x \mapsto 4}\frac{1}{x-4} \cdot \frac{8-2\sqrt{4+3x}}{ \sqrt{4+3x}}=$

Mas a partir daqui não sei o que fazer!!
Sei que a fórmula da derivada da função é:

$-\frac{12}{(4+3x)\sqrt{4+3x}}$

Como posso desenvolver o limite?
Obrigado

por **Neperiano** » Seg Nov 07, 2011 14:11

Ola

Primeira coisa é substituir o x pelo valor do limite, depois veja o que dá para fazer

E lembre se, 1/0 = infinito e 0/1 = 0

Atenciosamente

por **joaofonseca** » Seg Nov 07, 2011 18:06

O limite não é zero nem infinito.
Utilizando as regras de diferenciação, fica assim:

$\frac{d}{d_{x}}\frac{8}{\sqrt{4+3x}}=\frac{0 \cdot \sqrt{4+3x}-8 \cdot \frac{1}{2\sqrt{4+3x}} \cdot 3}{(\sqrt{4+3x})^2}$

$=-\frac{ \frac{24}{2\sqrt{4+3x}}}{4+3x}=-\frac{12}{\sqrt{4+3x}}\cdot \frac{1}{4+3x}$

$=-\frac{12}{(4+3x) \cdot \sqrt{4+3x}}$

Era este ultimo resultado que eu queria chegar através da definição de derivada num ponto, através da utilização de limites.

$f'(4)=-\frac{12}{4+3\cdot 4 \cdot \sqrt{4+3\cdot4}}=-\frac{12}{16 \cdot \sqrt{16}}=-\frac{12}{16 \cdot 4}=-\frac{3}{16}$

por **TheoFerraz** » Seg Nov 07, 2011 18:15

voce pode tentar uma mudança de variáveis....

pode tentar

u = 4 + 3x

ou

${u}^{2} = (4+3x)$

eu não acho que simplificar vai ajudar, a nao ser que voce faça o seguinte :

$\lim_{x \rightarrow 4} \frac{1}{x - 4} .\left( \frac{8}{\sqrt[]{4+3x}}- \frac{2}{\sqrt[]{4+3x}} \right)$

faça a distributiva e tente tirar o limite da soma que é a soma dos limites

por **LuizAquino** » Ter Nov 08, 2011 00:04

joaofonseca escreveu: $\lim_{x \to 4}\frac{1}{x-4} \cdot \frac{8-2\sqrt{4+3x}}{ \sqrt{4+3x}}$

Mas a partir daqui não sei o que fazer!!

Multiplique tanto o numerador quanto o denominador da segunda fração por $8+2\sqrt{4+3x}$ .

$\lim_{x \to 4}\frac{1}{x-4} \cdot \frac{8-2\sqrt{4+3x}}{ \sqrt{4+3x}} = \lim_{x \to 4}\frac{1}{x-4} \cdot \frac{\left(8-2\sqrt{4+3x}\right)\cdot \left(8+2\sqrt{4+3x}\right)}{\left( \sqrt{4+3x} \right)\cdot \left(8+2\sqrt{4+3x}\right)}$

$= \lim_{x \to 4}\frac{1}{x-4} \cdot \frac{8^2-\left(2\sqrt{4+3x}\right)^2}{ \sqrt{4+3x}\left(8+2\sqrt{4+3x}\right)}$

$= \lim_{x \to 4}\frac{1}{x-4} \cdot \frac{64 -4(4+3x)}{ \sqrt{4+3x}\left(8+2\sqrt{4+3x}\right)}$

$= \lim_{x \to 4}\frac{1}{x-4} \cdot \frac{48 -12x}{ \sqrt{4+3x}\left(8+2\sqrt{4+3x}\right)}$

$= \lim_{x \to 4}\frac{1}{x-4} \cdot \frac{12(4 -x)}{ \sqrt{4+3x}\left(8+2\sqrt{4+3x}\right)}$

$= \lim_{x \to 4} \frac{1}{x-4} \cdot \frac{-12(x - 4)}{ \sqrt{4+3x}\left(8+2\sqrt{4+3x}\right)}$

Agora termine a solução.

por **joaofonseca** » Ter Nov 08, 2011 11:38

Obrigado pela ajuda.
A minha dificuldade estava no facto de estar à espera que a expressão final do limite fosse igual a expressão da derivada, mas parece que não são!