[calculo] limite

por **beel** » Dom Out 30, 2011 20:23

Como resolvo esse limite?
$\lim_{x\rightarrow (\frac{1}{2})^-}\frac{ln(1-2x)}{tg(\Pi.x)}$

Ele da uma indeterminação do tipo 0/0, assim apliquei L'Hospital e ficou
$\lim_{x\rightarrow (\frac{1}{2})^-}\frac{\frac{-2}{1 - 2x}}{\Pi.sec^2 (\Pi.x)}$

o resultado será $\infty$ ?

por **LuizAquino** » Seg Out 31, 2011 15:17

beel escreveu:Como resolvo esse limite?
$\lim_{x\to (\frac{1}{2})^-} \frac{\ln(1-2x)}{\textrm{tg}\, \pi x}$

Ele da uma indeterminação do tipo 0/0

Errado. Ele é uma indeterminação do tipo $\infty / \infty$ .

beel escreveu:assim apliquei L'Hospital e ficou

$\lim_{x\to (\frac{1}{2})^-} \frac{\frac{-2}{1 - 2x}}{\pi\sec^2 \pi x}$

o resultado será $\infty$ ?

Errado. O resultado não é esse.

$\lim_{x\to \left(\frac{1}{2}\right)^-} \frac{\frac{-2}{1 - 2x}}{\pi\sec^2 \pi x} = \lim_{x\to \left(\frac{1}{2}\right)^-} \frac{-2\cos^2 \pi x}{\pi(1-2x)}$

$= -\frac{2}{\pi}\lim_{x\to \left(\frac{1}{2}\right)^-} \frac{\left(\cos^2 \pi x\right)^\prime}{(1-2x)^\prime}$

$= - \frac{2}{\pi} \lim_{x\to \left(\frac{1}{2}\right)^-} \frac{-2\pi\cos \pi x \,\textrm{sen}\,\pi x}{-2}$

$= - \frac{2}{\pi} \lim_{x\to \left(\frac{1}{2}\right)^-} \pi\cos \pi x \,\textrm{sen}\,\pi x$

$= - \frac{2}{\pi} \cdot \left(\pi\cos \frac{\pi}{2} \,\textrm{sen}\,\frac{\pi}{2}\right) = 0$

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