Limite

por **Claudin** » Ter Out 04, 2011 22:57

Resolvendo o Limite a seguir: $\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{sen3x-sen2x}{\epsilon^{3x}-1}$

$\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{sen3x-sen2x}{\epsilon^{3x}-1}\Rightarrow \frac{\frac{sen3x}{x}\frac{sen2x}{x}}{\frac{\epsilon^{3x}-1}{x}}$

OBS: os limites abaixo foram calculados separadamente, se alguém tiver dúvida da resolução abaixo eu posto, foi mais pra ganhar tempo, ai não coloquei a resolução completa, pois minha dúvida é no resultado final.
Considerando $\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{sen3x}{x}= 3$

e $\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{sen2x}{x}= 2$

Temos que o numerador teria como resultado 3-2= 1

Agora resolvendo o denominador atravé de substituição de variáveis, temos que:

$y=\epsilon^{3x}-1\Rightarrow ln\epsilon^3x=lny+1$

$\lim_{y\rightarrow{0}}\frac{y}{lny+1}\Rightarrow\lim_{y\rightarrow{0}}\frac{1}{\frac{1}{y}(lny+1)}\Rightarrow\lim_{y\rightarrow{0}}\frac{1}{ln(y+1)^{\frac{1}{y}}}\Rightarrow \lim_{y\rightarrow{0}}\frac{1}{ln\epsilon}= \frac{1}{1}=1$

Sendo assim a resposta final seria:

$\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{sen3x-sen2x}{\epsilon^{3x}-1}$

$\lim_{x\rightarrow{0}}\frac{sen3x-sen2x}{\epsilon^{3x}-1}= \frac{3-2}{1}= \frac{1}{1}= 1$

correto?

por **LuizAquino** » Sáb Out 08, 2011 20:15

Claudin escreveu: $\lim_{x\to 0}\frac{\textrm{sen}\,3x - \,\textrm{sen}\,2x}{e^{3x}-1}$

$\lim_{x\to 0}\frac{\textrm{sen}\,3x - \,\textrm{sen}\,2x}{e^{3x}-1} = \frac{3-2}{1}= \frac{1}{1}= 1$

correto?

Errado.

Note que:

$\lim_{x\to 0}\frac{\textrm{sen}\,3x - \,\textrm{sen}\,2x}{e^{3x}-1} = \lim_{x\to 0}\frac{\frac{\textrm{sen}\,3x}{x} - \,\frac{\textrm{sen}\,2x}{x}}{\frac{e^{3x}-1}{x}}$

$= \frac{3 - 2}{3} = \frac{1}{3}$

Observação
Se $u = e^{3x}-1$ , então $\frac{1}{3}\ln(u+1) = x$ .

Sendo assim, segue que:

$\lim_{x\to 0} \frac{e^{3x}-1}{x} = \lim_{u\to 0} \frac{u}{\frac{1}{3}\ln(u+1)}$

$= \lim_{u\to 0} \frac{3}{\frac{1}{u}\ln(u+1)}$

$= \lim_{u\to 0} \frac{3}{\ln(u+1)^{\frac{1}{u}}}$

$= \frac{3}{\ln e} = 3$

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