Pré-Cálculo

por **Claudin** » Sex Set 09, 2011 09:54

Considerando o módulo $\frac{2+x}{|3-2x|}<\frac{1}{2x-3}$
temos que

1º caso: $\begin{cases}3-2x\geq0 \\ \frac{2+x}{3-2x}< \frac{1}{2x-3}\end{cases}$

2º caso: $\begin{cases}3-2x<0 \\ \frac{2+x}{-3+2x}< \frac{1}{2x-3}\end{cases}$

Correto?

Resolvendo esta situação obtive solução $S_f= (-\infty,-1)$
esta correto?
Senão tiver alguém mostra o modo correto de se resolver, mas acho que está correto utilizei o método pelo qual Luiz Aquino me recomendou, então gostaria de saber se a resposta está coerente, e meu modo de fazer também.

por **Claudin** » Sex Set 09, 2011 09:58

p: quando vou resolver

$\frac{2+x}{3-2x}-\frac{1}{2x-3}<0\Leftrightarrow \frac{1+x}{-2x+3}<0$
Tirando o mínimo ou resolvendo separadamente os numeradores > e <0 e depois os denominadores > e <0.
Qual seria o modo correto? No exemplo que citei a solução eu fiz tirando o mínimo múltiplo comum e resolvi normalmente.

por **LuizAquino** » Sex Set 09, 2011 11:15

Claudin escreveu:1º caso:
$\begin{cases}3-2x\geq 0 \\ \frac{2+x}{3-2x}< \frac{1}{2x-3}\end{cases}$

No lugar de $3-2x\geq 0$ o correto seria 3-2x > 0

, isso porque nesse exercício essa expressão aparece em um denominador e portanto não pode ser nula.

Claudin escreveu:Resolvendo esta situação obtive solução $S_f= (-\infty,-1)$

Reveja a sua solução considerando a informação anterior.

Claudin escreveu:p: quando vou resolver

$\frac{2+x}{3-2x}-\frac{1}{2x-3}<0\Leftrightarrow \frac{1+x}{-2x+3}<0$
Tirando o mínimo ou resolvendo separadamente os numeradores > e <0 e depois os denominadores > e <0.
(...)
Qual seria o modo correto?

O correto seria efetuar a subtração das frações e em seguida analisar o sinal do numerador e do denominador.

Mas, note que a subtração correta é:

$\frac{2+x}{3-2x}-\frac{1}{2x-3}<0 \Leftrightarrow \frac{[(2+x)\cdot 1] - 1\cdot (-1)}{3-2x} < 0 \Leftrightarrow \frac{3+x}{3-2x} < 0$

por **Claudin** » Sex Set 09, 2011 19:55

LuizAquino escreveu:No lugar de $3-2x\geq 0$ o correto seria , isso porque nesse exercício essa expressão aparece em um denominador e portanto não pode ser nula.

Correto.

LuizAquino escreveu:Reveja a sua solução considerando a informação anterior.

Irei rever, depois postarei.

LuizAquino escreveu:O correto seria efetuar a subtração das frações e em seguida analisar o sinal do numerador e do denominador.

Mas, note que a subtração correta é:

$\frac{2+x}{3-2x}-\frac{1}{2x-3}<0 \Leftrightarrow \frac{[(2+x)\cdot 1] - 1\cdot (-1)}{3-2x} < 0 \Leftrightarrow \frac{3+x}{3-2x} < 0$

Não compreendi essa subtração.

por **Claudin** » Sex Set 09, 2011 21:13

1º caso: $\begin{cases}3-2x\geq0 \\ \frac{2+x}{3-2x}< \frac{1}{2x-3}\end{cases}$

$-2x>-3\Leftrightarrow x<\frac{3}{2}$ $S=(-\infty,\frac{3}{2})$

Tirando o mínimo da segunda expressão para realizar a subtração obtive:

$\frac{(2+x)(2x-3)-1(-2x+3)}{(-2x+3)(2x-3)}\Leftrightarrow \frac{2x^2+3x-9}{(-2x+3)(2x-3)}$

$\Delta=81$

Portanto: x=-3

e $x=\frac{3}{2}$ ---> não sei obter essa solução.

depois faço no denominador -2x+3> e <0 correto?
e 2x-3> e <0 correto?

2º caso: $\begin{cases}3-2x<0 \\ \frac{2+x}{-3+2x}< \frac{1}{2x-3}\end{cases}$

Primeira expressão = $x>\frac{3}{2}$

Segunda expressão = $\frac{2+x}{2x-3}-\frac{1}{2x-3}\Leftrightarrow \frac{x+1}{2x-3}$

Portanto faço x+1> e <0 correto?
e 2x-3> e <0 correto?

Qual seria a nova solução não consegui encontrar

por **LuizAquino** » Sáb Set 10, 2011 01:34

A sua solução não está correta.

Eu vou apresentar a solução do Caso 1 e você tenta fazer o Caso 2.

1º caso:
$\begin{cases}3-2x > 0 \\ \displaystyle{\frac{2+x}{3-2x}< \frac{1}{2x-3}}\end{cases}$

A primeira inequação é simples: $3 - 2x > 0 \Rightarrow -2x > -3 \Rightarrow x < \frac{3}{2} \Rightarrow S_1 = \left.(-\infty,\,\frac{3}{2}\right)$ .

Vejamos a segunda.

$\frac{2+x}{3-2x}< \frac{1}{2x-3} \Rightarrow \frac{2+x}{3-2x} - \frac{1}{2x-3} < 0$

Notamos que 2x - 3 é igual a -(3 - 2x). Sendo assim, o m. m. c. entre 3 - 2x e 2x - 3 é simplesmente 3 - 2x. Podemos então escrever:

$\frac{2+x}{3-2x} - \frac{1}{2x-3} < 0 \Rightarrow \frac{[(2+x)\cdot 1]- 1\cdot (-1)}{3 - 2x} < 0 \Rightarrow \frac{3+x}{3 - 2x} < 0$

Vale indicar que há uma outra forma de enxergar essas operações:

$\frac{2+x}{3-2x} - \frac{1}{2x-3} < 0 \Rightarrow \frac{2+x}{3-2x} - \frac{1}{-(3 - 2x)} < 0$ $\Rightarrow \frac{2+x}{3-2x} + \frac{1}{3 - 2x} < 0 \Rightarrow \frac{3+x}{3-2x} < 0$

Analisando o sinal, temos a ilustração abaixo.

: análise-dos-sinais.png (2.77 KiB) Exibido 668 vezes

Portanto, temos que:

$\frac{3+x}{3-2x} < 0 \Rightarrow x < -3 \textrm{ ou } x > \frac{3}{2} \Rightarrow S_2 = \left.(-\infty,\,-3\right)\cup \left(\frac{3}{2},\,+\infty\right.)$

Sendo assim, a solução do Caso 1 é $S = S_1 \cap S_2 = \left.(-\infty,\,-3\right)$ .

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