Pré-Cálculo

por **Claudin** » Qui Set 08, 2011 21:16

Considere as funçõesf, g, h definidas por f(x)=x^2+x-6, g(x)=e^x, h(x)=lnx

. Determine:
a) o domínio da função composta hof;

Seria

hof=h(f(x))=lnx^2+x-6

Tal que resolvendo a equação do segundo grau obtemos as raízes -3 e 2.
E considerando e>1, sendo uma função crescente. Sendo assim seu domínio é R ?

b) Os valores de x de modo que f(g(x))=0

f(g(x))= (e^x)^2+e-6

$e^{2x}+e^x-6$
O proximo passo seria fazer o que?

por **MarceloFantini** » Qui Set 08, 2011 21:53

Primeiro, avalie o domínio de f e perceba que não há restrições. Agora, quando fazemos $(h \circ f)(x)$ , há uma restrição em h(x)

que deve ser respeitada, e que diz que x > 0

, e portanto para que $(h \circ f)(x)$ exista devemos ter f(x) > 0

, e isto acontece quando x<-3

e

, de acordo com as raízes. Logo, o domínio será $(- \infty, -3) \cup (2, \infty)$ .

Para a segunda questão, faça uma mudança de variáveis: w = e^x

, e assim chegará que $(f \circ g)(x) = (e^x)^2 + e^x -6 = w^2 +w -6 = 0$ , que você já sabe que as raízes são -3 e 2. Mas w=e^x

que é sempre maior que zero, portanto podemos descartar w=-3

, e assim $e^x = 2 \implies x = \ln 2$ .

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