Pré Cálculo

[Claudin]

Prove que se f for definida, contínua e injetora no intervalo I, então f será estritamente crescente ou estritamente decrescente.

Alguém para me ajudar com esta questão?

[LuizAquino]

Dica

Para que uma função seja injetora devemos ter:

Se (a e b no domínio de f), então .

Sabemos que se k e m são números reais distintos, então apenas uma das alternativas acontece:
(i) k > m
(iii) k < m

Além disso, por definição temos que:
(i) f é estritamente crescente se para todo a e b no domínio de f, com a < b, tivermos que f(a) < f(b);
(ii) f é estritamente decrescente se para todo a e b no domínio de f, com a < b, tivermos que f(a) > f(b).

Agora tente organizar essas dicas para concluir o exercício.

[Claudin]

f é estritamente crescente se para todo a e b no domínio {I}, com a < b, tivermos que f(a) < f(b);
f é estritamente decrescente se para todo a e b no domínio {I}, com a < b, tivermos que f(a) > f(b).

qual seria a correta

[MarceloFantini]

É não "qual é correta". Isso são definições sobre funções estritamente decrescentes ou estritamente crescentes.

[Claudin]

Eu iria utilizar as duas para provar?
foi essa a pergunta qual a correta para provar na questão.

[MarceloFantini]

Você tem que provar que acontece o primeiro caso ou acontece o segundo.

[Claudin]

Se eu tive dúvida, é porque eu não sei n gente boa, se não for muito incômodo esclareça pra mim

[LuizAquino]

Vejamos como aplicar as dicas que passei para resolver o exercício.

Sejam , e três pontos distintos do domínio de f, com .

Por hipótese, f é injetora. Como esses pontos são distintos, podemos dizer que , e .

Isso significa que podemos ter 8 casos:

(i) , ,

(ii) , ,

(iii) , ,

(iv) , ,

(v) , ,

(vi) , ,

(vii) , ,

(viii) , ,

O objetivo do exercício é provar que apenas o caso (i) ou o caso (viii) podem ocorrer. Vamos então usar a estratégia de provar que nenhum dos outros casos podem ocorrer.

Vejamos, por exemplo, porque o caso (iv) não pode ocorrer.

Por hipótese, f é contínua. Pelo Teorema do Valor Intermediário, dado um número d tal que , deve existir um número k no intervalo tal que f(k) = d.

Por outro lado, como no caso (iv) temos , esse número d é tal que . Sendo assim, novamente pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir um número m no intervalo tal que f(m) = d.

Temos então k e m distintos com f(k) = f(m). Mas, isso contraria a hipótese de f ser injetora. Sendo assim, o caso (iv) não pode ocorrer.

Usando um raciocínio análogo, podemos justificar que os casos (ii), (iii), (v), (vi) e (vii) também não podem ocorrer.