[Limites]Limites com denomindaor irracional

por **moyses** » Seg Ago 29, 2011 10:17

pessoal como se resolve esse limite $\lim_{X\rightarrow4}\frac{3-\sqrt{5+X}}{1-\sqrt{5-X}}$ ? primeiramente ola a todos sou novo aqui no forum como vai? como se simplifica essa expresão tipo eu tentei simplificar multiplicando pelo conjugado do radicais! mais mesmo assim não consegui tirar da ideterminação $\frac{0}{0}$ qunado substui na formula como simplifica isso?

por **moyses** » Seg Ago 29, 2011 11:30

ninguem?

por **LuizAquino** » Seg Ago 29, 2011 14:17

Seja bem-vindo ao fórum!

A primeira coisa que eu gostaria de pedir é paciência!

Como ilustra os horários abaixo, você já estava "solicitando" uma reposta após apenas 1 hora e 13 minutos!

Lembre-se que todos os usuários do fórum são voluntários.

: horário.png (10.35 KiB) Exibido 3615 vezes

Quanto ao exercício, a dica é multiplicar e dividir tudo por $\left(3+\sqrt{5+x}\right)\left(1 + \sqrt{5 - x}\right)$ :

$\lim_{x \to 4}\frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}} = \lim_{x \to 4}\frac{\left(3-\sqrt{5+x}\right)\left(3+\sqrt{5+x}\right)\left(1 + \sqrt{5 - x}\right)}{\left(1-\sqrt{5-x}\right)\left(3+\sqrt{5+x}\right)\left(1 + \sqrt{5 - x}\right)}$

Em seguida, basta aplicar o produto notável (a-b)(a+b) = a^2 - b^2

:

$\lim_{x \to 4}\frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}} = \lim_{x \to 4}\frac{\left[3^2-\left(\sqrt{5+x}\right)^2\right]\left(1 + \sqrt{5 - x}\right)}{\left[1^2-\left(\sqrt{5-x})^2\right)\right]\left(3+\sqrt{5+x}\right)}$

Agora tente terminar o exercício.

Aproveito também para indicar dois canais que podem lhe interessar:

http://www.youtube.com/nerckie

http://www.youtube.com/LCMAquino

por **moyses** » Seg Ago 29, 2011 14:27

obrigado luiz , ahh e os videos de nerkie eu já fiz revisão e cheguei a baixar todos para o meu pc , e eo seus videos tabem eu baixei prar aprender rsrsrrs e que eu odeio ter que carregar os videos todo hora mais valew pela dica car falow Deus te abençoe!

por **moyses** » Seg Ago 29, 2011 14:31

achei interresante sua resposta eu não sabia que dava pra multiplicar cunjugado do dois do denominador e numerador e dividir ao mesmo tempo? como isso é possivel ? eu ate pedi ajuda aqui com meu professor ele me disse que ´so era possivel ultilizar a regra de l´hostipal

por **moyses** » Seg Ago 29, 2011 16:08

Professor eu sinceramente não consigui fazer este exercio por favor tem com o senhor fazer passo a passo, eu vi os videos do nerkie de racionalição mais não consigui fazer com este, pois esta muito dicil! desde já agradeço pela sua atenção! :-D

por **LuizAquino** » Seg Ago 29, 2011 18:28

moyses escreveu:achei interresante sua resposta eu não sabia que dava pra multiplicar cunjugado do dois do denominador e numerador e dividir ao mesmo tempo? como isso é possivel ?

Sim, você pode fazer essa operação sem problema. A ideia básica vem do fato de que se $\lim_{x\to c} f(x)$ e $\lim_{x\to c} \frac{g(x)}{h(x)}$ existem, então $\lim_{x\to c} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x\to c}\frac{g(x)f(x)}{h(x)f(x)}$ .

moyses escreveu:eu ate pedi ajuda aqui com meu professor ele me disse que ´so era possivel ultilizar a regra de l´hostipal

Podemos resolver esse exercício sem usar a Regra L'Hospital. Basta usar a estratégia indicada anteriormente.

moyses escreveu:Professor eu sinceramente não consigui fazer este exercio por favor tem com o senhor fazer passo a passo

Eu já fiz uma parte. Eu vou fazer mais outra e você tenta terminar.

Na mensagem anterior desenvolvemos até:

$\lim_{x \to 4}\frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}} = \lim_{x \to 4}\frac{\left[3^2-\left(\sqrt{5+x}\right)^2\right]\left(1 + \sqrt{5 - x}\right)}{\left[1^2-\left(\sqrt{5-x})^2\right)\right]\left(3+\sqrt{5+x}\right)}$

Veja que resolvendo os quadrados, como (5 + x) e (5 - x) são números positivos quando x se aproxima de 4, temos que:

$\lim_{x \to 4}\frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}} = \lim_{x \to 4}\frac{\left[9-(5+x)\right]\left(1 + \sqrt{5 - x}\right)}{\left[1-\left(5-x\right)\right]\left(3+\sqrt{5+x}\right)}$

Mas, isso é o mesmo que:

$\lim_{x \to 4}\frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}} = \lim_{x \to 4}\frac{(4 - x)\left(1 + \sqrt{5 - x}\right)}{(-4 + x)\left(3+\sqrt{5+x}\right)}$

Continue a partir daqui.

por **moyses** » Seg Ago 29, 2011 23:46

$\lim_{x \to 4}\frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}} = \lim_{x \to 4}\frac{(4 - x)\left(1 + \sqrt{5 - x}\right)}{(-4 + x)\left(3+\sqrt{5+x}\right)}$ ahh endendi agora professor! só agora eu percebi que é so jogo de sinais que o senhor fez etão essat expreção ficari assim então $\lim_{x \to 4}\frac{(4 - x)\left(1 + \sqrt{5 - x}\right)}{(-4 + x)\left(3+\sqrt{5+x}\right)}=\lim_{x \to 4}\frac{(4 - x)\left(1 + \sqrt{5 - x}\right)}{-(4 - x)\left(3+\sqrt{5+x}\right)}$ $\lim_{x \to 4}\frac{(4 - x)\left(1 + \sqrt{5 - x}\right)}{(-4 + x)\left(3+\sqrt{5+x}\right)}=\lim_{x \to 4}\frac{(4 - x)\left(1 + \sqrt{5 - x}\right)}{-(4 - x)\left(3+\sqrt{5+x}\right)}$ agora da pra simplificar ficando assim $\lim_{x \to 4}\frac{\left(1 + \sqrt{5 - x}\right)}{-\left(3+\sqrt{5+x}\right)}=\lim_{x \to 4}\frac{\left(1 + \sqrt{5 - 4}\right)}{-\left(3+\sqrt{5+4}\right)}=-\frac{1}{3}$ correto? :-O

por **LuizAquino** » Ter Ago 30, 2011 00:53

Apenas organizando a solução:

$\lim_{x \to 4}\frac{3-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}} = \lim_{x \to 4}\frac{(4 - x)\left(1 + \sqrt{5 - x}\right)}{(-4 + x)\left(3+\sqrt{5+x}\right)}$

$= \lim_{x \to 4}\frac{(4 - x)\left(1 + \sqrt{5 - x}\right)}{-(4 - x)\left(3+\sqrt{5+x}\right)}$

$= \lim_{x \to 4} - \frac{\left(1 + \sqrt{5 - x}\right)}{\left(3+\sqrt{5+x}\right)}$

$= - \frac{\left(1 + \sqrt{5 - 4}\right)}{\left(3+\sqrt{5+4}\right)} = - \frac{1}{3}$