Limite

por **Claudin** » Seg Jul 25, 2011 03:19

O limite:

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt[]{x}+4}{x-2}$

Não consegui obter resultado aceitável, no caso, calculando tanto pela direita como pela esquerda os resultados seriam diferentes, mas não consegui compreender o porque. Alguém poderia explicar detalhadamente o modo de como analisar corretamente este exercício?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim-%3E2{sqrt{x}%2B4}%2F{x-2}

por **LuizAquino** » Seg Jul 25, 2011 09:47

Dica

Se $\lim_{x\to c^+} f(x) = k$ (com k não nulo) e $\lim_{x\to c^+} g(x) = 0$ , então $\lim_{x\to c^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty$ (sendo que o "sinal" para esse infinito vai depender dos sinais de k e de g nas proximidades de c pela direita).

De maneira análoga, se $\lim_{x\to c^-} f(x) = k$ (com k não nulo) e $\lim_{x\to c^-} g(x) = 0$ , então $\lim_{x\to c^-} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty$ (sendo que o "sinal" para esse infinito vai depender dos sinais de k e de g nas proximidades de c pela esquerda).

por **Claudin** » Seg Jul 25, 2011 13:28

LuizAquino escreveu:Dica

Se $\lim_{x\to c^+} f(x) = k$ (com k não nulo) e $\lim_{x\to c^+} g(x) = 0$ , então $\lim_{x\to c^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty$ (sendo que o "sinal" para esse infinito vai depender dos sinais de k e de g nas proximidades de c pela direita).

De maneira análoga, se $\lim_{x\to c^-} f(x) = k$ (com k não nulo) e $\lim_{x\to c^-} g(x) = 0$ , então $\lim_{x\to c^-} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty$ (sendo que o "sinal" para esse infinito vai depender dos sinais de k e de g nas proximidades de c pela esquerda).

Mas considerando g(x)=0

Iria resultar em um denominador sendo 0 o que não seria aceitável, não?

por **LuizAquino** » Seg Jul 25, 2011 15:23

Claudin escreveu:Mas considerando
Iria resultar em um denominador sendo 0 o que não seria aceitável, não?

Perceba que estamos calculando o limite da divisão entre f e g.

Nós não estamos calculando a divisão entre f e g.

por **Claudin** » Seg Jul 25, 2011 19:53

Correto. Porém não consigo compreender como calcular os limites laterais da expressão.

Substituindo valores pela esquerda e pela direita, como por exemplo 2,0001 e 1,9999

Continuo não encontrando resultado plausível.

por **LuizAquino** » Seg Jul 25, 2011 20:08

Vou usar a dica dada anteriormente para calcular $\lim_{x\to 2^+} \frac{\sqrt{x} + 4}{x - 2}$ .

Note que:
(i) $\lim_{x\to 2^+} \sqrt{x} + 4 = \sqrt{2} + 4$ (que é um número não nulo e positivo);

(ii) $\lim_{x\to 2^+} x - 2 = 0$ , sendo que para x próximo de 2 pela direita temos que x - 2 > 0. Isto é, x - 2 será um número positivo;

Dessa maneira, teremos que $\lim_{x\to 2^+} \frac{\sqrt{x} + 4}{x - 2} = +\infty$ .

por **Claudin** » Ter Jul 26, 2011 01:05

E calculando:

(i) $\lim_{x\rightarrow2^{-}}\sqrt[]{x}+4=\sqrt[]{2}+4$ (que é um número não nulo e positivo);

(ii) $\lim_{x\rightarrow2^{-}}x-2=0$ sendo que para x próximo de 2 pela esquerda temos que x - 2 < 0. Isto é, x - 2 será um número negativo;

Dessa maneira, teremos que $\lim_{x\rightarrow2^{-}}\frac{\sqrt[]{x}+4}{x-2}=-\infty$

Correto?

por **LuizAquino** » Ter Jul 26, 2011 09:14

Claudin escreveu:Dessa maneira, teremos que $\lim_{x\rightarrow2^{-}}\frac{\sqrt[]{x}+4}{x-2}=-\infty$

Correto?

Sim.

por **Claudin** » Ter Jul 26, 2011 12:36

Então pode-se concluir que:

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt[]{x}+4}{x-2}$

Não existe pois seus limites laterais são diferentes.

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