Limite

por **Claudin** » Qui Jul 21, 2011 02:47

Estou com dúvida em como resolver um limite quando tenho que analisar os limites laterais.

Por exemplo em:

$\lim_{x\rightarrow3}\frac{/x-1/}{x-1}$

Não sei fazer esta análise de limites laterais. Só sei fazer corretamente quando tem uma chave contendo valores >3;<3 e =3
entenderam minha dúvida? Desse modo ai, somente com uma função eu resolveria normalmente o limite, e obteria o valor

$\lim_{x\rightarrow3}\frac{/x-1/}{x-1}\Rightarrow \frac{/3-1/}{3-1}=1$

Sendo assim, não fazendo corretamente a análise dos valores pela esquerda e pela direita.

ps: a teoria de limites laterais eu já domino, o problema seria a aplicação, como por exemplo neste caso.

Alguém desenvolveria este limite para que possa me ajudar em outros exercícios análogos a este?

Obrigado

por **MarceloFantini** » Qui Jul 21, 2011 03:08

Novamente, estas barras indicam módulo? Se sim, perceba que neste caso o valor para o qual x está tendendo está no lado positivo do módulo, então tanto o limite pela esquerda como pela direita o módulo será positivo e portanto serão iguais.

por **LuizAquino** » Qui Jul 21, 2011 09:28

Com base nessa sua dúvida e na anterior, provavelmente você não está sabendo trabalhar com módulos. É interessante que você revise esse conteúdo.

Pois bem, considere a função $f(x) = \frac{|x - 1|}{x - 1}$ . Obviamente, 1 não faz parte do domínio de f.

Aplicando a definição de módulo, temos que:
$f(x) = \begin{cases} \frac{x - 1}{x - 1},\textrm{ se } x > 1 \\ \frac{-(x - 1)}{x - 1},\textrm{ se } x < 1 \\ \end{cases}$

Ora, mas isso é o mesmo que:
$f(x) = \begin{cases} 1,\textrm{ se } x > 1 \\ -1,\textrm{ se } x < 1 \\ \end{cases}$

Agora reflita:
a) O que acontece com a função quando x está bem próximo de 3, mas para valores menores? Isto é, para valores como x = 2,9, x = 2,99, x = 2,999, x = 2,9999, etc.
b) O que acontece com a função quando x está bem próximo de 3, mas para valores maiores? Isto é, para valores como x = 3,1, x = 3,01, x = 3,001, x = 3,0001, etc.

por **Claudin** » Qui Jul 21, 2011 12:35

Correto Luiz, o que eu não compreendo é o seguinte

Conseiderando $f(x) = \begin{cases} \frac{x - 1}{x - 1},\textrm{ se } x > 1 \\ \frac{-(x - 1)}{x - 1},\textrm{ se } x < 1 \\ \end{cases}$

Vou resolver o limite lateral pela direita substituindo em $\lim_{x\rightarrow3^{+}}\frac{x-1}{x-1}$

E o limite lateral pela esquerda substituindo em $\lim_{x\rightarrow3^{-}}\frac{-(x-1)}{x-1}$

Correto?

por **Claudin** » Qui Jul 21, 2011 12:37

Achei que o valor das chaves teria relação com o valor em que o "x" tende tanto pela direita como pela esquerda.

$f(x) = \begin{cases} \frac{x - 1}{x - 1},\textrm{ se } x > 3 \\ \frac{-(x - 1)}{x - 1},\textrm{ se } x < 3 \\ \end{cases}$

Mas desse modo está errado não é?

por **LuizAquino** » Qui Jul 21, 2011 14:58

Claudin escreveu:Conseiderando $f(x) = \begin{cases} \frac{x - 1}{x - 1},\textrm{ se } x > 1 \\ \frac{-(x - 1)}{x - 1},\textrm{ se } x < 1 \\ \end{cases}$

Vou resolver o limite lateral pela direita substituindo em $\lim_{x\rightarrow3^{+}}\frac{x-1}{x-1}$

E o limite lateral pela esquerda substituindo em $\lim_{x\rightarrow3^{-}}\frac{-(x-1)}{x-1}$

Correto?

Não está correto. Perceba que se x está bem próximo de 3, não importa se x = 2,9999 ou x = 3,0001, em ambos os casos temos que x > 1. Portanto, os limites serão:

(a) $\lim_{x\rightarrow3^{+}}\frac{x-1}{x-1}$

(b) $\lim_{x\rightarrow3^{-}}\frac{x-1}{x-1}$

Claudin escreveu:Achei que o valor das chaves teria relação com o valor em que o "x" tende tanto pela direita como pela esquerda.

$f(x) = \begin{cases} \frac{x - 1}{x - 1},\textrm{ se } x > 3 \\ \frac{-(x - 1)}{x - 1},\textrm{ se } x < 3 \\ \end{cases}$

Mas desse modo está errado não é?

Isso não está condizente com o exercício. Inclusive, essa função está mal definida, pois 1 é menor do que 3, mas não é possível calcular f(1) devido a uma divisão por zero.

Além do mais, você pode calcular um limite onde houver necessidade.

Por exemplo, considere a função $f(x) = \begin{cases} x + 1,\textrm{ se } x > 1 \\ 4x^2,\textrm{ se } x < 1 \\ \end{cases}$ .

É perfeitamente plausível querer calcular o limite $\lim_{x\to 3^+}f(x)$ .

Assim como também é perfeitamente plausível querer calcular o limite $\lim_{x\to 1^+}f(x)$ .

por **Claudin** » Qui Jul 21, 2011 19:10

LuizAquino escreveu:Não está correto. Perceba que se x está bem próximo de 3, não importa se x = 2,9999 ou x = 3,0001, em ambos os casos temos que x > 1. Portanto, os limites serão:

(a) $\lim_{x\rightarrow3^{+}}\frac{x-1}{x-1}$

(b) $\lim_{x\rightarrow3^{-}}\frac{x-1}{x-1}$

Porque então que a função é comparada com, x<1

e

se $x\rightarrow3$ isso que eu não consigo compreender, para mimo x<3 e x>3

LuizAquino escreveu:Por exemplo, considere a função $f(x) = \begin{cases} x + 1,\textrm{ se } x > 1 \\ 4x^2,\textrm{ se } x < 1 \\ \end{cases}$ .

É perfeitamente plausível querer calcular o limite $\lim_{x\to 3^+}f(x)$ .

Assim como também é perfeitamente plausível querer calcular o limite $\lim_{x\to 1^+}f(x)$ .

Neste exemplo que você citou para calcular $\lim_{x\to 1^+}f(x)$ e $\lim_{x\to 3^+}f(x)$

eu iria utilizar a função que adota valores com x > 1

Correto?

por **MarceloFantini** » Qui Jul 21, 2011 19:20

Claudin, você não está sabendo trabalhar com a definição de módulo. A função x-1

é positiva para x>1 e negativa para x<1. Como $x \to 3$ , não importa se o limite tende pela direita ou pela esquerda, pois ambos estão se aproximando no intervalo que a função é sempre positiva. Agora, quando $x \to 1$ , importa sim, pois os limites laterais diferem.

por **Claudin** » Qui Jul 21, 2011 20:34

Já compreendi agora Marcelo.
Obrigado, eu sei aplicar o conceito de módulo sim, meu problema era em relacionar o limite com o valor a que "x" está tendendo. :y:

por **LuizAquino** » Qui Jul 21, 2011 21:05

Claudin escreveu:Porque então que a função é comparada com, e se $x\rightarrow3$ isso que eu não consigo compreender, para mimo x<3 e x>3

Só porque a função está definida com uma expressão para x < 1 e outra expressão para x > 1 não significa que você só pode calcular o limite quando x tende a 1.

Como eu falei anteriormente: você pode calcular um limite onde houver necessidade.

Claudin escreveu:Neste exemplo que você citou para calcular $\lim_{x\to 1^+}f(x)$ e $\lim_{x\to 3^+}f(x)$
eu iria utilizar a função que adota valores com
Correto?

Sim. Dada a função $f(x) = \begin{cases} x + 1,\textrm{ se } x > 1 \\ 4x^2,\textrm{ se } x < 1 \\ \end{cases}$ , temos que:

(a) $\lim_{x\to 1^+}f(x) = \lim_{x\to 1^+} x + 1$

(b) $\lim_{x\to 3^+}f(x) = \lim_{x\to 3^+} x + 1$

Por outro lado, vamos ter que:

(c) $\lim_{x\to 1^-}f(x) = \lim_{x\to 1^-} 4x^2$

(d) $\lim_{x\to 3^-}f(x) = \lim_{x\to 3^-} x + 1$

No último limite, note que apesar de x tender a 3 pela esquerda, nós usamos a parte da função referente a x > 1. Afinal de contas, quando $x\to 3^-$ , temos que x são números como 2,9, 2,99, 2,999, 2,9999, 2,99999, etc.

por **Claudin** » Qui Jul 21, 2011 23:49

Muito Obrigado Luiz Aquino :y:

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