Limite

por **Claudin** » Qui Jul 21, 2011 02:34

O enunciado do exercício no qual estou com dúvida é:
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.

$\lim_{x\rightarrow1^{+}}\frac{/x-1/}{x-1}$

por **Claudin** » Qui Jul 21, 2011 02:37

No caso específico acima, a resolução ficaria

$\lim_{x\rightarrow1^{+}}\frac{/x-1/}{x-1}$

Em que $x\rightarrow1^{+}$ , então substituindo valores próximos de 1 pela direita o resultado obtido será 1

Então para facilitar cálculos com decimais posso fazer assim?

$\lim_{x\rightarrow1^{+}}\frac{/x-1/}{x-1}\Rightarrow \frac{2-1}{2-1}=1$

Aproximando de 2? Ou seja, x continua sendo maior do que 1, pela direita.

por **Claudin** » Qui Jul 21, 2011 02:40

Este exercício está na página 84 do livro "Um Curso de Cálculo - Vol 1 -> GUIDORIZZI" (Exercícios 3.4 número 1 letra A)

Não sei se x esta tendendo pra direita, esta difícil de compreender aqui no livro.

aguardo resposta
Obrigado

por **MarceloFantini** » Qui Jul 21, 2011 03:07

Estas barras indicam módulo?

por **LuizAquino** » Qui Jul 21, 2011 08:59

Claudin escreveu:Então para facilitar cálculos com decimais posso fazer assim?

$\lim_{x\rightarrow1^{+}}\frac{/x-1/}{x-1}\Rightarrow \frac{2-1}{2-1}=1$

Aproximando de 2? Ou seja, x continua sendo maior do que 1, pela direita.

Você não pode fazer assim! De fato, a reposta final será 1, mas isso não serve como justificativa!

O correto é utilizar a definição de módulo. Para valores de x maiores do que 1, sabemos que |x - 1| = x - 1.

Portanto, temos que:
$\lim_{x \rightarrow 1^{+}}\frac{|x-1|}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\frac{x-1}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} 1 = 1$

Comentário
Vejamos um limite onde essa sua estratégia de "facilitar cálculos com decimais" aproximando x por 2 resulta em um erro.

Tome a função $f(x) = \frac{|x-1|}{x^2 - 1}$ .

Sabemos que f(2) = 1/3.

Considere agora o limite: $\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{|x-1|}{x^2-1}$ .

Se fizermos a aproximação como você fez, obteríamos o erro:

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{|x-1|}{x^2-1} = \frac{|2 - 1|}{2^2 - 1} = \frac{1}{3}$

Agora, fazendo de maneira correta, vamos usar a definição de módulo:

$\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{|x-1|}{x^2-1} = \lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{1}{x+1} = \frac{1}{2}$

por **Claudin** » Qui Jul 21, 2011 12:40

LuizAquino escreveu:Portanto, temos que:
$\lim_{x \rightarrow 1^{+}}\frac{|x-1|}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\frac{x-1}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} 1 = 1$

Luiz Aquino, no caso, você substituiu qual valor no "x" para obter resultado 1?
Óbvio que qualquer valor a ser substituído em "x" resultaria em 1, ou seja, sendo $x\rightarrow1^{+}$
aproximando e substituindo x por 1,0001 o resultado também seria 1. Portanto gostaria de saber por qual valor você substituiu?

por **MarceloFantini** » Qui Jul 21, 2011 14:28

Nenhum, perceba que $\frac{x-1}{x-1} = 1$ .

por **LuizAquino** » Qui Jul 21, 2011 15:03

Como lembrou o Fantini, por nenhum número em particular!

Eu usei o fato que se a é um número real não nulo, então $\frac{a}{a} = 1$ .

Ou seja, qualquer número real (exceto o zero) dividido por ele mesmo resulta em 1.

por **Claudin** » Qui Jul 21, 2011 17:40

Correto. Obrigado Marcelo e Luiz :y:

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