Derivadas

por **AlbertoAM** » Seg Abr 18, 2011 19:14

Derivar e simplificar:
$f(x)=\frac{{x}^{3}}{3}arctg(3x)-\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{ln(9{x}^{2}+1)}{162}$

Eu resolvi deste modo:
1ªparcela: $\left(\frac{{x}^{3}}{3}\right)'arctg(3x)+\left(\frac{{x}^{3}}{3}\right)\left(arctg(3x) \right)'\n\n={x}^{2}arctg(3x)+\frac{{x}^{3}}{9{x}^{2}+1}$

2ªparcela: $\frac{1}{18}2x=\frac{x}{9}$

3ªparcela: $\frac{x}{9(9{x}^{2}+1)}$

$\therefore f'(x)={x}^{2}arctg(3x)+\frac{{x}^{3}}{9{x}^{2}+1}-\frac{x}{9}+\frac{x}{9(9{x}^{2}+1)}=\\={x}^{2}arctg(3x)+\frac{9{x}^{3}-9{x}^{3}}{9(9{x}^{2}+1)}={x}^{2}arctg(3x)$

Eu queria saber se a resolução está correta, pois estou sem o gabarito dessa questão.
Outra dúvida minha é como ficaria a derivada de $\left({sen}^{2} \frac{x}{5}\right)'$
Eu cheguei em $\frac{2}{5}sen\frac{x}{5}cos\frac{x}{5}$ , mas acho que está errado.

Muito Obrigado.

por **LuizAquino** » Ter Abr 19, 2011 14:29

Está correto:

(a) $f(x)=\frac{{x}^{3}}{3}\textrm{ arctg}\, 3x-\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{\ln(9{x}^{2}+1)}{162} \Rightarrow f^\prime(x) = x^2\textrm{ arctg}\,3x$

(b) $f(x) = \textrm{ sen}^2\,\frac{x}{5} \Rightarrow f^\prime(x) = \frac{2}{5}\textrm{ sen}\,\frac{1}{5}x \cos \frac{1}{5} \, x$

por **AlbertoAM** » Ter Abr 19, 2011 15:24

Muito Obrigado.

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