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Questão prova concurso 2011 - complexos

Questão prova concurso 2011 - complexos

Mensagempor fernandocez » Ter Mar 29, 2011 19:06

Caros amigos fiz a prova prá professor de matemática domingo, não consegui fazer quase todas questões. Já vi que tenho que estudar muito pro próximo. Essa é uma delas.

50) Uma das raízes complexas da equação x³ + 3x² + 8x - 6 = 0 é:
resp: 1+i\sqrt[]{3}

Eu tentei assim:
x³ + 3x² + 8x - 6 = 0
x [x (x - 3) + 8] - 6 = 0 Achei que (x - 3) era uma das raízes, usei o método "Briot-Ruffini " aquele que parece uma divisão no final tem que restar zero. Não dá zero.

Tentei também (a + b)(a² + 2ab + b²) e não foi. ai desisti e chutei essa e um monte das outras, mesmo assim fiz 26 pontos faltaram só 4 pontos em matemática prá passar foi quase.
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Re: Questão prova concurso 2011 - complexos

Mensagempor Elcioschin » Ter Mar 29, 2011 19:48

fernandocez

Imagino que a questão tinha alternativas, sendo uma delas 1 + i*V3.
Você deveria tê-las colocado, pois fazem parte do enunciado
Imagino que existe um erro na questão:

Se (1 + i*V3) é raiz ----> (1 - i*V3) é outra raiz

Pelas relações de Girard, sendo m a terceira raiz ----> (1 + i*V3) + (1 - i*V3) + m = - 3/1 ----> m = - 5

Logo, a terceira raiz seria x = - 5

Aplicando Briot- Ruffini para x = - 5

...|1 ....... 3 ........ 8 ........ - 6
-5 |1 ...... -2 ....... 18 ....... - 96 ----> Resto = - 96

Logo (1 + i*V3) NÃO pode ser raiz

Por favor confira o enunciado
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Re: Questão prova concurso 2011 - complexos

Mensagempor FilipeCaceres » Ter Mar 29, 2011 20:02

Ola fernando,
Vou pedir para você olhar a sua equação novamente, pois esta raiz não pertence a este polinômio.

Abraço.
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Re: Questão prova concurso 2011 - complexos

Mensagempor fernandocez » Ter Mar 29, 2011 20:29

Elcioschin escreveu:fernandocez

Imagino que a questão tinha alternativas, sendo uma delas 1 + i*V3.
Você deveria tê-las colocado, pois fazem parte do enunciado
Imagino que existe um erro na questão:

Se (1 + i*V3) é raiz ----> (1 - i*V3) é outra raiz

Pelas relações de Girard, sendo m a terceira raiz ----> (1 + i*V3) + (1 - i*V3) + m = - 3/1 ----> m = - 5

Logo, a terceira raiz seria x = - 5

Aplicando Briot- Ruffini para x = - 5

...|1 ....... 3 ........ 8 ........ - 6
-5 |1 ...... -2 ....... 18 ....... - 96 ----> Resto = - 96

Logo (1 + i*V3) NÃO pode ser raiz

Por favor confira o enunciado


Oi Elcio, realmente digitei errado, tanto o enunciado que é: x³ - 3x² + 8x -6 = 0 e a resposta certa é: 1+i\sqrt[]{5}. Independente disso vc me ensinou como resolver, é só ir pelas alternativas e usar a relação de Girard. Desculpe e obrigado.

filipecaceres escreveu:Ola fernando,
Vou pedir para você olhar a sua equação novamente, pois esta raiz não pertence a este polinômio.

Abraço.


Oi Felipe, como falei com o Elcio digitei errado tanto a equação que é: x³ - 3x² + 8x -6 = 0, quanto a resposta. a certa é: 1+i\sqrt[]{5}. Desculpe e obrigado.
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Re: Questão prova concurso 2011 - complexos

Mensagempor Elcioschin » Ter Mar 29, 2011 21:13

1 + i*V5 também NÃO é raiz ---> Continua errado

Alem disso vc não atendeu ao meu pedido: NÃO postou as alternativas.

Assim fica difícil ajudá-lo
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Re: Questão prova concurso 2011 - complexos

Mensagempor fernandocez » Ter Mar 29, 2011 21:22

Elcioschin escreveu:fernandocez



Eu continuo com uma dúvida. Eu usei a relação na opção (a) e deu 1 como raiz, na (b) também deu 1 como raiz, só a opção (c) 2+i\sqrt[]{3} deu -1. A (d) que é a certa deu 1 também e a (e) deu -1. Se eu usasse a relação de Girard logo na (a) já encontraria a raiz, só que a resposta taria errada por não ser a outra raiz (complexa) procurada. Tem mais alguma coisa que falta fazer pra confirmar se a raiz é a procurada?

Eu aproveitei o 1 e usei de raiz e é uma delas mesmo, ai eu fiz por Baskara e encontrei as outras duas. Mas foi sorte ser 1 uma das raízes. Na prova eu nem pensei em tentar por 1.
Outra dúvida: Sempre vai ter duas raízes simétricas?
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Re: Questão prova concurso 2011 - complexos

Mensagempor FilipeCaceres » Ter Mar 29, 2011 22:00

Quando se quer encontar as raízes de um polinômio a primeira coisa a se fazer é dar uma olhada para ser se encontra alguma raiz real.
Seja,
P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0,(a_n\neq 0) de coeficientes reais inteiros, admite uma raiz racional \frac{p}{q}
onde p \epsilon \integers\mathbb{Z}, q \epsilon \mathbb{Z}_+ e p,q sao primos entre si, entao p é divisor de a_0 e q é divisor de a_n.

Ex.
x^2-5x+6=0
Entao q={1\right} e p=\left{-1,-2,-3,1,2,3,6\right}

Assim, as possíveis raizes reais seriam
\frac{p}{q}=\left{-1,-2,-3,1,2,3,6\right}

Logo, encontrariamos como raiz os números
\frac{p}{q}=\left{2,3\right}

Voltando para a questão x³ - 3x² + 8x -6 = 0
logo temos que,
q=\left{1,2,3,6\right} ep=\left{-1,-2,-3,1,2,3,6\right}

Assim teriamos que os possíveis valores seriam,
\frac{p}{q}=\left{-1,-2,-3,1,2,3,6,\frac{-1}{2},...,1\right}

Claro que não iriamos testar todos, mas -1,1,2,3 esses valores normalmente se testa.

Por inspeção chegaremos que 1 e raiz.
Baixando o grau por Briot-Ruffini teremos,
x^2-2x+6=0

E por Báskara teremos como raiz
1+i\sqrt{5}
1-i\sqrt{5}

Nos números complexos, as raizes vem aos pares, ou seja, se a+bi é raiz o seu conjudado também é a-bi.

Logo,x³ - 3x² + 8x -6 = 0 tem como raizes:
1
1+i\sqrt{5}
1-i\sqrt{5}

Espero ter ajudado.
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Re: Questão prova concurso 2011 - complexos

Mensagempor fernandocez » Qua Mar 30, 2011 11:43

filipecaceres escreveu:Quando se quer encontar as raízes de um polinômio a primeira coisa a se fazer é dar uma olhada para ser se encontra alguma raiz real.
Espero ter ajudado.


Com certeza ajudou muito, depois dessa aula eu não posso errar nunca mais uma questão dessa. Obrigado.
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Re: Questão prova concurso 2011 - complexos

Mensagempor fernandocez » Qua Mar 30, 2011 11:51

Elcioschin escreveu:1 + i*V5 também NÃO é raiz ---> Continua errado

Alem disso vc não atendeu ao meu pedido: NÃO postou as alternativas.

Assim fica difícil ajudá-lo


Oi Elcio, é que eu escrevi a equação errada também. A correta eu postei acima. Mas já tá resolvido valeu o esforço, eu aprendi com que vc postou e o felipe complementou. Obrigado e desculpa aí.
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Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


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Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


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Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: