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Foco de uma parabola

Foco de uma parabola

Mensagempor PedroSantos » Qua Fev 23, 2011 13:26

Seja a função dada pela expressão y={x}^{2}-4.

É fácil concluir que a concavidade da parabola é virada para cima e que os seus zeros são -2 e 2. Pode-se ainda concluir que as coordenadas do vertice são (0,-4), pois se os zeros são -2 e 2 e a parabola é uma figura com simetria, a abscissa será \frac{(2-2)}{2}=0 e a ordenada y={0}^{2}-4 \Leftrightarrow y=-4. Conforme se pode verificar na figura:

parabola.jpg


E as coordenadas do foco e a recta da directriz?Como posso achar estes dados a partir da expressão inicial?
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Re: Foco de uma parabola

Mensagempor Dan » Qua Fev 23, 2011 16:16

Olá PedroSantos.

Você precisa primeiramente passar a equação para a forma {(x-h)}^{2} = 4p(y-k). Pode usar completamento de quadrados, por exemplo.

Depois disso você calcula o foco e a diretriz:

Foco: (h, k+p)
Diretriz: y=k-p

No caso dessa parábola, a equação será {(x-0)}^{2} = 1(y+4)

A partir disso você calcula foco e diretriz. Não esqueça que 4p = 1 e que k = -4.
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Re: Foco de uma parabola

Mensagempor LuizAquino » Qua Fev 23, 2011 16:22

Dos conhecimentos de Geometria Analítica, sabemos que uma parábola de foco F=(0, p) e reta diretriz r : y=-p tem equação igual a y = \frac{1}{4p}x^2.

Para transformar a sua equação nesse formato, vamos fazer uma translação do sistema de eixos de modo que o novo sistema terá a sua origem no ponto (0, -4) do eixo antigo. Isto é, teremos o novo sistema y_1 = y+4 e x_1 = x. Sendo assim, a equação y=x^2-4 fica equivalente a y_1 = x_1^2 no novo sistema.

Nesse novo sistema, temos que o foco será F_1 = \left(0,\, \frac{1}{4}\right) e a reta diretriz será r_1 \,:\, y_1 = -\frac{1}{4}.

Agora, voltando novamente para o sistema de eixos original, teremos que o foco será F=\left(0, -\frac{15}{4}\right) e a reta diretriz será r \,:\, y = -\frac{17}{4}.
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Re: Foco de uma parabola

Mensagempor PedroSantos » Qua Fev 23, 2011 22:17

Obrigado pela ajuda, aos dois.A minha dificuldade estava mesmo em colocar a expressão inicial na forma {(x-h)}^{2}=4p(y-k).
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Re: Foco de uma parabola

Mensagempor PedroSantos » Qui Fev 24, 2011 10:24

Entretanto estive a verificar outro exemplo.

y=x^2-5x+6

Aqui é necessário colocar na forma y=a(x-h)^{2}+k
É preciso achar um número que adicionado a x^2-5x transforme a expressão num trinómio quadrado prefeito. Sabemos que 2ab=5x e que a=x logo b=5/2, assim b^2=\frac{25}{4}

Por isso o trinomio do quadrado perfeito fica x^2-5x+\frac{25}{4}.Agora é necessário adicionar o simétrico do número que utilizamos como artificio.
Fica :
y=x^2-5x+\frac{25}{4}+6-\frac{25}{4}

Depois de simplificar a expressão ficamos com

(x-\frac{5}{2})^2=1(y+\frac{1}{4})

Temos:
h=5/2
k=-1/4
p=1/4
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Re: Foco de uma parabola

Mensagempor LuizAquino » Qui Fev 24, 2011 10:45

Como você mesmo fez, y=x^2-5x+6 pode ser escrita como y+\frac{1}{4}=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2.

Isso significa que o seu novo sistema de eixos deve ser transladado de modo que sua origem seja no ponto \left(\frac{5}{2},\, -\frac{1}{4}\right) do sistema atual. Isto é, teremos que x_1 = x - \frac{5}{2} e y_1 = y + \frac{1}{4}.

Nesse novo sistema, a equação da parábola é y_1=x_1^2, e portanto o foco é F_1 = \left(0,\, \frac{1}{4}\right).

Agora, basta transformar esse ponto de volta para o sistema original, obtendo assim F = \left(\frac{5}{2},\, 0\right).
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D