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Quadrado Perfeito?

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A classificação destes desafios em fáceis, médios e difíceis, é apenas ilustrativa.
Eventualmente, o que pode ser difícil para a maioria, pode ser fácil para você e vice-versa.

Quadrado Perfeito?

Mensagempor Molina » Qui Nov 25, 2010 17:00

Boa tarde!

Encontrei este desafio pelos corredores da universidade e já aviso que não tenho a resposta. Então seria interessante debatermos sobre o problema, aí vai:

O número 111...10888...89 com n algarismos 1 e n algarismos 8 é um quadrado perfeito?

:idea:
*-)
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Re: Quadrado Perfeito?

Mensagempor victoreis1 » Qui Nov 25, 2010 18:13

3 x 3 = 09 (0 algarismos 1 e 0 algarismos 8)
33 x 33 = 1089 (1 algarismo 1 e 1 algarismo 8)
333 x 333 = 110889 (2 algarismos 2 e 2 algarismos 8)

333.. (n vezes 3) x 333.. (n vezes 3) = 11...088...9 (n-1 algarismos 1 e n-1 algarismos 8)

que tipo de prova ele pede; tem que usar aritmética modular, ou pode ser por indução mesmo?
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Re: Quadrado Perfeito?

Mensagempor Molina » Qui Nov 25, 2010 18:16

Ninguém pede nada, Victor.

Mas por ser n natural acredito que saia por indução mesmo...

:y:
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Re: Quadrado Perfeito?

Mensagempor Renato_RJ » Qui Jan 06, 2011 16:25

Se o problema é sobre quadrados perfeitos, acredito que tenhamos que utilizar congruência... Além de que, os quadrados perfeitos quando divididos por 3 ou 4 apresentam restos 1 ou 0.
Iniciando a minha "caminhada" pela matemática agora... Tenho muito o quê aprender...
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Re: Quadrado Perfeito?

Mensagempor Otavio Rubiao » Seg Fev 07, 2011 09:26

Se ainda estiverem interessados na resolução:

Escrevendo os termos do numero 111...1088...89 como a soma de outro numeros temos:

111..11000..00 onde (11...11) = n numeros e (000....000) = n + 2

888...880 onde (888...8) = n

percebemos que o primeiro e o segundo numeros podem ser escritos com a soma de uma PG:

1.10^n+2 + 10.10^n+2 + 100.10^n+2 +...+ 10^2n+1 = 10^n+2.(10^n - 1)/10 - 1
80 + 800 + 8000 +...+ 8.10^n = 80.( 10^n - 1)/10 - 1
9 = 9

logo: 1111...10888....89 = (10^2n+2 - 10^n+2 + 80.10^n - 80 + 81)/9 desenvolvendo :
111...10888...89 = ((10^n+1 - 1)/3)² C.Q.D
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Re: Quadrado Perfeito?

Mensagempor alessandro » Seg Abr 16, 2012 19:24

Fiz uma questão bem similar a essa, que vai te ajudar!!

Veja: http://www.4shared.com/office/7PCHO5pg/ ... m_qua.html
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Re: Quadrado Perfeito?

Mensagempor pedroaugustox47 » Sex Mai 11, 2012 16:28

simples representação decimal:
.
\frac{1111111...111111}{n.uns}0\frac{88888...88888}{n.oitos}9=
.
\left( \frac{10^n-1}{9} \right)\left(10^\left(n+2 \right) \right) + 8.\left(\frac{10^n-1}{9} \right).10 +9 =
.
\frac{\left(10^n \right)\left(10^\left(n+2 \right) \right)-\left(10^\left(n+2 \right) \right)}{9} + \frac{80.\left(10^n-1 \right)}{9}+ \frac{81}{9} =
.
\frac{\left[ 10^\left(2n+2 \right) \right] - \left[ 10^\left(n+2 \right) \right]+\left[80.10^n \right]+1}{9}=
.
\frac{\left[ \left(10^\left(n+1 \right) \right)^2 \right] -100.10^n +80.10^n+1}{9}=
.
\frac{\left(10^\left(n+1 \right) \right)^2 -20.10^n +1}{9}=
.
\frac{\left(10.10^n \right)^2 - 2.\left(10.10^n \right).1 +1^2}{9}=
.
\frac{\left(10.10^n-1 \right)^2}{9}=
.
\left( \frac{\left[10^\left(n+1 \right) \right]-1}{3} \right)^2 ...... C.Q.D
.
abraços :y:
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Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55

isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: