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Reportagem sobre Mega Sena - 31/08/07

Seção para postagens de problemas matemáticos do cotidiano, reportagens, casos interessantes, polêmicos ou curiosos.
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  1. Não envie somente enunciados de problemas, informe suas tentativas e dificuldades!

    Queremos que a "ajuda" represente um trabalho interativo, pois saber especificar a dúvida exige estudo.

    Serão desconsiderados tópicos apenas com enunciados, sem interação. Nosso objetivo não é resolver listas de exercícios;



  2. Para não haver má interpretação em suas postagens, especialmente na precedência das operações, utilize LaTeX, podendo ser a partir do botão "editor de fórmulas".


    Bons estudos!

Reportagem sobre Mega Sena - 31/08/07

Mensagempor admin » Dom Set 02, 2007 04:52

No dia 31/08/2007, o Jornal da Globo exibiu uma reportagem sobre a Mega Sena acumulada:

R$ 54 milhões na Mega Sena
A chance de um jogador ganhar continua sendo de uma em 50 milhões, mas os matemáticos garantem que a probabilidade do prêmio sair desta vez é muito grande.


Além desta citação, baseada na explicação de um matemático em entrevista, o jornalista comentou que seria "mais fácil" jogarmos 26 moedas iguais para o alto e todas caírem do mesmo lado, do que ganharmos na Mega Sena.

Deixo aqui algumas perguntas:

  • Você já calculou a probabilidade de se ganhar na Mega Sena?
  • Este exemplo utilizado no jornal, é verdadeiro?
  • Por que este número de 26 moedas?
  • Será que nós poderíamos dizer, por exemplo, que jogar 27 moedas iguais para o alto e todas caírem do mesmo lado, é "mais difícil" então do que ganharmos na Mega Sena?
  • Como "os matemáticos garantem" a citação inicial do jornal?
Fábio Sousa
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Re: Reportagem sobre Mega Sena - 31/08/07

Mensagempor jose reis pimenta » Ter Nov 13, 2007 19:57

Considerando que a probalidade de uma moeda dar cara é 1/2,
duas moedas dar cara é de 1/4 e assim a probabilidade de n moedas dar cara é 2 elevado a n, donde podemos concluir que a probabilidade de lançar 26 moedas e todas dar cara é de 2 elevado a 26, daí, temos P= 1/67.108.864 o que se percebe que é mais fácil acertar na mega sena do que tirar 26 caras num lançamento de 26 moedas.
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Re: Reportagem sobre Mega Sena - 31/08/07

Mensagempor admin » Ter Nov 13, 2007 21:13

jose reis pimenta escreveu:Considerando que a probalidade de uma moeda dar cara é 1/2,
duas moedas dar cara é de 1/4 e assim a probabilidade de n moedas dar cara é 2 elevado a n, donde podemos concluir que a probabilidade de lançar 26 moedas e todas dar cara é de 2 elevado a 26, daí, temos P= 1/67.108.864 o que se percebe que é mais fácil acertar na mega sena do que tirar 26 caras num lançamento de 26 moedas.


Olá jose, seja bem-vindo ao fórum!

Notem que o comentário do jornalista foi sobre as moedas caírem do mesmo lado, o que não exige que todas caiam do lado cara.
Podem também todas caírem do lado coroa e ainda estarão do mesmo lado!

Vale outro comentário rápido: a probabilidade é a quociente entre o número de eventos favoráveis, sobre o número de eventos possíveis.
Este número (a probabilidade) pertence sempre ao intervalo real fechado [0, 1].
Ou seja, uma probabilidade nunca é, por exemplo, 2^{26}.

Neste caso, nós temos 2 eventos favoráveis: todas em cara, ou todas em coroa.
Sendo então a probabilidade ao lançar as moedas:
P = \frac{2}{2^{26}} = \frac{2}{67.108.864} = \frac{1}{33.554.432}
Vejam que a façanha das moedas ainda é "mais fácil" do que ganhar na Mega Sena.

Agora reparem o que acontece quando aumentamos uma moeda!

Abraços!
Fábio Sousa
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Re: Reportagem sobre Mega Sena - 31/08/07

Mensagempor jose reis pimenta » Dom Nov 18, 2007 07:25

Realmente, você tem razão, pois quando resolvi deixei de considerar as duas possibilidades "cara" e "coroa".
Olha gostaria de dizer-lhe que apesar de amante da matemática, a minha formação acadêmica é em direito, apesar de não exercê-la, devido a incompatibilidade de minha função de funcionário público na Justiça Federal (técnico).
Abraços. Pimenta
jose reis pimenta
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Re: Reportagem sobre Mega Sena - 31/08/07

Mensagempor admin » Seg Nov 19, 2007 13:27

Olá Pimenta!
Acredito que independentemente do que se faz, o importante é gostar, pois faremos melhor.
Sucesso!
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Cálculo da probabilidade de acerto na Mega Sena

Mensagempor admin » Seg Dez 03, 2007 15:50

Há algum tempo o site da Caixa Econômica Federal informava "fórmulas" para os cálculos das probabilidades.
Considerando algumas buscas de visitantes por este assunto aqui na Ajuda Matemática e o fato de que atualmente a Caixa apenas informa a probabilidade, sem mais detalhes sobre o cálculo (http://www.caixa.gov.br/loterias/loterias/megasena/probabilidades.asp), eis um comentário para obtermos a probabilidade de acerto informada para 6 dezenas que é de 1 em 50.063.860 (50 milhões 63 mil 860).

P = \frac{1}{50.063.860}

Veja este número em representação decimal:
P = 0,00000001997448858...

E o percentual de acerto:
P = 0,000001997448858...\%



São 6 dezenas sorteadas dentre 60, sem repetição:

\underbrace{
\begin{array}{cccccc}
\overline{1^a} & \overline{2^a} & \overline{3^a} & \overline{4^a} & \overline{5^a} & \overline{6^a}
\end{array}
}_\mbox{dezenas sorteadas}

Vamos entender o processo.
No sorteio da primeira dezena, temos todas as 60 dezenas disponíveis, ou seja, temos 60 possibilidades:

\underbrace{
\begin{array}{cccccc}
60 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\overline{1^a} & \overline{2^a} & \overline{3^a} & \overline{4^a} & \overline{5^a} & \overline{6^a}
\end{array}
}_\mbox{dezenas}


No sorteio da segunda, como não há repetição da dezena, restam 59 possibilidades:

\underbrace{
\begin{array}{cccccc}
60 & 59 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\overline{1^a} & \overline{2^a} & \overline{3^a} & \overline{4^a} & \overline{5^a} & \overline{6^a}
\end{array}
}_\mbox{dezenas}

Até que no sorteio da última dezena, serão 55 possibilidades:

\underbrace{
\begin{array}{cccccc}
60 & 59 & 58 & 57 & 56 & 55 \\
\overline{1^a} & \overline{2^a} & \overline{3^a} & \overline{4^a} & \overline{5^a} & \overline{6^a}
\end{array}
}_\mbox{dezenas}

Pelo Princípio Fundamental da Contagem: Se há 60 maneiras para 1ª dezena ser sorteada E 59 maneiras para a 2ª dezena ser sorteada ... E 55 maneiras para a 6ª dezena ser sorteada, o número total de maneiras para o sorteio ocorrer será o produto destas possibilidades, ou seja:

60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55 =  36.045.979.200 (36 bilhões 45 milhões 979 mil e 200 possibilidades)
Dicas para outras pesquisas: rule of product / basic counting principle / the fundamental principle of counting


Em cada conjunto de 6 dezenas, pode haver permutação e ainda assim será considerado o mesmo sorteio.
Da combinatória, se temos n elementos distintos, podemos obter n! arranjos destes elementos.
Estes arranjos são chamados de permutações.
n! (fatorial de n)
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot \, \cdots \, \cdot1

Exemplos:
0! = 1

1! = 1

2! = 2\cdot1 = 2

6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 720

De modo que o número total possível de jogos será, de fato, menor.
Porque até então, temos 6! "jogos repetidos" neste número "60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55".
Então, para encontrarmos o número total de jogos sem estas repetições, devemos dividir por 6!.

total possível de sorteios na Mega Sena = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55}{6!} = \frac{36.045.979.200}{720} = 50.063.860


Na prática, pela teoria combinatória, este é o número de combinações de n elementos distintos tomados de p em p.
Pode ser obtido diretamente por esta "fórmula" (cuja origem é análoga a este processo acima):
C_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)! \cdot p!}

Veja como obtemos o mesmo resultado:
C_{60,6} = \frac{60!}{(60-6)! \cdot 6!}
= \frac{60!}{54! \cdot 6!}
= \frac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55 \cdot 54!}{54! \cdot 6!}
 = \frac{60 \cdot 59 \cdot 58 \cdot 57 \cdot 56 \cdot 55}{6!}

C_{60,6} = 50.063.860


Como a probabilidade é o quociente entre a quantidade de eventos favoráveis, sobre a quantidade de eventos possíveis, então finalmente podemos representar a probabilidade de acerto na Mega Sena:

P = \frac{1}{C_{60,6}} = \frac{1}{50.063.860} = 0,00000001997448858...
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?